Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+} \sin{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\sqrt{x^{2} + 11} - 6\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 11} - 6}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 11} - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 11} - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{3 \pi \sqrt{x^{2} + 11} \cos{\left(3 \pi x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \frac{18 \pi}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \frac{18 \pi}{5}\right)$$
=
$$- \frac{18 \pi}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)