Límite de la función 3^x*atan(x)*tan((1/4)^x)

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\tan{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)} \tan{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \tan{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3^{x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{3^{x}}{x^{2} + 1}\right) \tan^{2}{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)} + 1\right) \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{3^{x}}{x^{2} + 1}\right) \tan^{2}{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} \left(3^{x} \log{\left(3 \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{3^{x}}{x^{2} + 1}\right) \tan^{2}{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)