Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- x^ tres *sin(pi/(dos *x))^x/(- uno +x)
- x al cubo multiplicar por seno de ( número pi dividir por (2 multiplicar por x)) en el grado x dividir por ( menos 1 más x)
- x en el grado tres multiplicar por seno de ( número pi dividir por (dos multiplicar por x)) en el grado x dividir por ( menos uno más x)
- x3*sin(pi/(2*x))x/(-1+x)
- x3*sinpi/2*xx/-1+x
- x³*sin(pi/(2*x))^x/(-1+x)
- x en el grado 3*sin(pi/(2*x)) en el grado x/(-1+x)
- x^3sin(pi/(2x))^x/(-1+x)
- x3sin(pi/(2x))x/(-1+x)
- x3sinpi/2xx/-1+x
- x^3sinpi/2x^x/-1+x
- x^3*sin(pi dividir por (2*x))^x dividir por (-1+x)
-
Expresiones semejantes
- x^3*sin(pi/(2*x))^x/(-1-x)
- x^3*sin(pi/(2*x))^x/(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/x
- sin(3*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(4*x)
- sin(x)^2/x
- sin(x)/(2*x)
- Número Pi pi
- pi/(x*cot(5*x/2))
- Piecewise((1+5*x,x>=1),(-2+x^2,True))
- Piecewise((4+x,x<-1),(2+x^2,x<=1),(2*x,x>=1))
- pi/(x*cot(pi*x/2))
- pi/4
Límite de la función x^3*sin(pi/(2*x))^x/(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 x/ pi\\
|x *sin |---||
| \2*x/|
lim |------------|
x->oo\ -1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right)$$
Limit((x^3*sin(pi/((2*x)))^x)/(-1 + x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{- x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x - 1}}{\frac{d}{d x} \sin^{- x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}}{- \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{2 x \sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}}{- \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{2 x \sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{- x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x - 1}}{\frac{d}{d x} \sin^{- x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}}{- \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{2 x \sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}}{- \log{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{2 x \sin{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \sin^{x}{\left(\frac{\pi}{2 x} \right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo