Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+x^2-5*x
-
Límite de (-21+x^2+4*x)/(3-7*x+2*x^2)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(16+x^2-10*x)
-
Límite de (-35+x^2-2*x)/(5+2*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos *sin(x)+ dos *x^ dos +log(uno + dos *x))/x^ tres
- ( menos 2 multiplicar por seno de (x) más 2 multiplicar por x al cuadrado más logaritmo de (1 más 2 multiplicar por x)) dividir por x al cubo
- ( menos dos multiplicar por seno de (x) más dos multiplicar por x en el grado dos más logaritmo de (uno más dos multiplicar por x)) dividir por x en el grado tres
- (-2*sin(x)+2*x2+log(1+2*x))/x3
- -2*sinx+2*x2+log1+2*x/x3
- (-2*sin(x)+2*x²+log(1+2*x))/x³
- (-2*sin(x)+2*x en el grado 2+log(1+2*x))/x en el grado 3
- (-2sin(x)+2x^2+log(1+2x))/x^3
- (-2sin(x)+2x2+log(1+2x))/x3
- -2sinx+2x2+log1+2x/x3
- -2sinx+2x^2+log1+2x/x^3
- (-2*sin(x)+2*x^2+log(1+2*x)) dividir por x^3
-
Expresiones semejantes
- (-2*sin(x)+2*x^2-log(1+2*x))/x^3
- (-2*sin(x)+2*x^2+log(1-2*x))/x^3
- (2*sin(x)+2*x^2+log(1+2*x))/x^3
- (-2*sin(x)-2*x^2+log(1+2*x))/x^3
- (-2*sinx+2*x^2+log(1+2*x))/x^3
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/(4*tan(3*x))
- sin(x)*sin(7*x)/(x^2+3*x^3)
- sin(-1+3*x)*tan(3*p*x/2)
- sin(3*x)/(2+x^2)
- sin(x)^2*(-sin(x)+sinh(x))/x
- Logaritmo log
- log(x+x^2)*sin(x)
- log(1-sec(x)+cos(x))/acot(x)
- log(x)^(3/2)/x^3
- log(1+sqrt(x)+x^(1/3))/log(1+x^(1/3)+x^(1/4))
- log(1+x^2-x)/log(3+x^2+2*x)
Límite de la función (-2*sin(x)+2*x^2+log(1+2*x))/x^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-2*sin(x) + 2*x + log(1 + 2*x)|
lim |-------------------------------|
x->0+| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right)$$
Limit((-2*sin(x) + 2*x^2 + log(1 + 2*x))/x^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{2 x + 1}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{2 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + 4 - \frac{4}{4 x^{2} + 4 x + 1}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \sin{\left(x \right)} + 4 - \frac{4}{4 x^{2} + 4 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 x}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{8}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 x}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{8}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{2 x + 1}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{2}{2 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + 4 - \frac{4}{4 x^{2} + 4 x + 1}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \sin{\left(x \right)} + 4 - \frac{4}{4 x^{2} + 4 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 x}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{8}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 x}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{8}{3 \left(16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1\right)}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-2*sin(x) + 2*x + log(1 + 2*x)|
lim |-------------------------------|
x->0+| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right)$$
3
$$3$$
= 3
/ 2 \
|-2*sin(x) + 2*x + log(1 + 2*x)|
lim |-------------------------------|
x->0-| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right)$$
3
$$3$$
= 3.18750433570997
= 3.18750433570997
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = - 2 \sin{\left(1 \right)} + \log{\left(3 \right)} + 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = - 2 \sin{\left(1 \right)} + \log{\left(3 \right)} + 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = - 2 \sin{\left(1 \right)} + \log{\left(3 \right)} + 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = - 2 \sin{\left(1 \right)} + \log{\left(3 \right)} + 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo