Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- x/(uno +x)^ dos +atan(x)
- x dividir por (1 más x) al cuadrado más arco tangente de gente de (x)
- x dividir por (uno más x) en el grado dos más arco tangente de gente de (x)
- x/(1+x)2+atan(x)
- x/1+x2+atanx
- x/(1+x)²+atan(x)
- x/(1+x) en el grado 2+atan(x)
- x/1+x^2+atanx
- x dividir por (1+x)^2+atan(x)
-
Expresiones semejantes
- x/(1+x)^2-atan(x)
- x/(1-x)^2+atan(x)
- x/(1+x)^2+arctan(x)
- x/(1+x)^2+arctanx
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(3*x)*sin(3*x)/(x*(-1+(1-6*x)^(1/3)))
- atan(x)^3
- atan(n*x)
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1+9*x)^(1/3)))
- atan(x^2)/(asin(3*x)*sin(x/2))
Límite de la función x/(1+x)^2+atan(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |-------- + atan(x)|
x->oo| 2 |
\(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)$$
Limit(x/(1 + x)^2 + atan(x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(x + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(x + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{2}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→-oo