Sr Examen

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Suma de la serie (-cos(n*(pi))/(n*(pi)))*(sen((n*(pi)*x))/2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                         
 ___                         
 \  `                        
  \   -cos(n*pi)  sin(n*pi*x)
   )  -----------*-----------
  /       n*pi         2     
 /__,                        
n = 1                        
n=1sin(xπn)2(1)cos(πn)πn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(x \pi n \right)}}{2} \frac{\left(-1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n}
Sum(((-cos(n*pi))/((n*pi)))*(sin((n*pi)*x)/2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin(xπn)2(1)cos(πn)πn\frac{\sin{\left(x \pi n \right)}}{2} \frac{\left(-1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin(πnx)cos(πn)2πna_{n} = - \frac{\sin{\left(\pi n x \right)} \cos{\left(\pi n \right)}}{2 \pi n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)sin(πnx)cos(πn)sin(πx(n+1))cos(π(n+1))n)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{\frac{\sin{\left(\pi n x \right)} \cos{\left(\pi n \right)}}{\sin{\left(\pi x \left(n + 1\right) \right)} \cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|}{n}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src]
  oo                         
 ___                         
 \  `                        
  \   -cos(pi*n)*sin(pi*n*x) 
   )  -----------------------
  /            2*pi*n        
 /__,                        
n = 1                        
n=1sin(πnx)cos(πn)2πn\sum_{n=1}^{\infty} - \frac{\sin{\left(\pi n x \right)} \cos{\left(\pi n \right)}}{2 \pi n}
Sum(-cos(pi*n)*sin(pi*n*x)/(2*pi*n), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie