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(n*(sin(pi/n)-sin(pi/(n+1)))-sin(pi/(n+1)))

Suma de la serie (n*(sin(pi/n)-sin(pi/(n+1)))-sin(pi/(n+1)))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                                         
 ___                                         
 \  `                                        
  \   /  /   /pi\      /  pi \\      /  pi \\
   )  |n*|sin|--| - sin|-----|| - sin|-----||
  /   \  \   \n /      \n + 1//      \n + 1//
 /__,                                        
n = 1                                        
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(n \left(\sin{\left(\frac{\pi}{n} \right)} - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}\right)$$
Sum(n*(sin(pi/n) - sin(pi/(n + 1))) - sin(pi/(n + 1)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$n \left(\sin{\left(\frac{\pi}{n} \right)} - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n \left(\sin{\left(\frac{\pi}{n} \right)} - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{n \left(\sin{\left(\frac{\pi}{n} \right)} - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right) \left(\sin{\left(\frac{\pi}{n + 1} \right)} - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{\pi}{n + 2} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica [src]
-3.14159265358979323846264338328
-3.14159265358979323846264338328
Gráfico
Suma de la serie (n*(sin(pi/n)-sin(pi/(n+1)))-sin(pi/(n+1)))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie