Sr Examen

Otras calculadoras

x^3+3*x^2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ x^3+3*x^2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

Gráfico de la función y = x^3+3*x^2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                    x
                   /     /    ___\      /    ___\\  -
        3      2   |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||  2
f(x) = x  + 3*x  + |- cos|-------| - sin|-------||*e 
                   \     \   2   /      \   2   //
f(x)=(x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2f{\left(x \right)} = \left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} 
f = x^3 + 3*x^2 + (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2=0\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=42.6243226183057x_{1} = 42.6243226183057
x2=60.7622786895599x_{2} = 60.7622786895599
x3=53.5070809272478x_{3} = 53.5070809272478
x4=49.8794841009442x_{4} = 49.8794841009442
x5=−3.0325359162343x_{5} = -3.0325359162343
x6=24.4197551462958x_{6} = 24.4197551462958
x7=0.735412622053877x_{7} = 0.735412622053877
x8=21.0905119289613x_{8} = 21.0905119289613
x9=46.2518760045862x_{9} = 46.2518760045862
x10=38.9965088161727x_{10} = 38.9965088161727
x11=35.3699055690924x_{11} = 35.3699055690924
x12=31.7378233911991x_{12} = 31.7378233911991
x13=57.1346800362185x_{13} = 57.1346800362185
x14=28.1295652098419x_{14} = 28.1295652098419
x15=−0.424482773608401x_{15} = -0.424482773608401
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 3*x^2 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2).
(−cos⁡(032)−sin⁡(032))e02+(03+3⋅02)\left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{0}{2}} + \left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+6x+(3sin⁡(3x2)2−3cos⁡(3x2)2)ex2+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex22=03 x^{2} + 6 x + \left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.213694180651414x_{1} = 0.213694180651414
x2=30.5317187982593x_{2} = 30.5317187982593
x3=52.2978816381335x_{3} = 52.2978816381335
x4=23.2643127228492x_{4} = 23.2643127228492
x5=−2.00803800768874x_{5} = -2.00803800768874
x6=34.1600036566586x_{6} = 34.1600036566586
x7=13.1286813076339x_{7} = 13.1286813076339
x8=15.7603834218774x_{8} = 15.7603834218774
x9=37.7874638078689x_{9} = 37.7874638078689
x10=41.4150899574143x_{10} = 41.4150899574143
x11=26.9074263687047x_{11} = 26.9074263687047
x12=19.7046440539138x_{12} = 19.7046440539138
x13=63.180677854351x_{13} = 63.180677854351
x14=45.0426833522141x_{14} = 45.0426833522141
x15=48.6702831033928x_{15} = 48.6702831033928
x16=55.9254804029167x_{16} = 55.9254804029167
x17=59.5530791246395x_{17} = 59.5530791246395
Signos de extremos en los puntos:
                                                              /                    ___\                       /                    ___\ 
(0.21369418065141416, 0.146753996638927 - 1.11276408907526*cos\0.106847090325707*\/ 3 / - 1.11276408907526*sin\0.106847090325707*\/ 3 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(30.531718798259252, 31257.7938829996 - 4264601.92442402*cos\15.2658593991296*\/ 3 / - 4264601.92442402*sin\15.2658593991296*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(52.29788163813351, 151243.489973492 - 227164626640.076*cos\26.1489408190668*\/ 3 / - 227164626640.076*sin\26.1489408190668*\/ 3 /)

                                                          /                   ___\                      /                   ___\ 
(23.26431272284922, 14214.9879196361 - 112663.00231363*cos\11.6321563614246*\/ 3 / - 112663.00231363*sin\11.6321563614246*\/ 3 /)

                                                             /                   ___\                        /                   ___\ 
(-2.008038007688738, 3.99980565196499 + 0.366403899373316*sin\1.00401900384437*\/ 3 / - 0.366403899373316*cos\1.00401900384437*\/ 3 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(34.160003656658596, 43362.2256463963 - 26166795.7797234*cos\17.0800018283293*\/ 3 / - 26166795.7797234*sin\17.0800018283293*\/ 3 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(13.128681307633919, 2779.97616869928 - 709.344038689476*cos\6.56434065381696*\/ 3 / - 709.344038689476*sin\6.56434065381696*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(15.76038342187744, 4659.88573998169 - 2644.37946758117*cos\7.88019171093872*\/ 3 / - 2644.37946758117*sin\7.88019171093872*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(37.78746380786887, 58240.1104443322 - 160488348.668643*cos\18.8937319039344*\/ 3 / - 160488348.668643*sin\18.8937319039344*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(41.41508995741434, 76181.1920633943 - 984402069.433444*cos\20.7075449787072*\/ 3 / - 984402069.433444*sin\20.7075449787072*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(26.90742636870471, 21653.2636164284 - 696423.467317807*cos\13.4537131843524*\/ 3 / - 696423.467317807*sin\13.4537131843524*\/ 3 /)

                                                            /                   ___\                       /                   ___\ 
(19.704644053913775, 8815.60019924836 - 19002.4277624507*cos\9.85232202695689*\/ 3 / - 19002.4277624507*sin\9.85232202695689*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(63.18067785435102, 264179.901080352 - 52421552354881.2*cos\31.5903389271755*\/ 3 / - 52421552354881.2*sin\31.5903389271755*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(45.04268335221414, 97471.0773654229 - 6038018161.58267*cos\22.5213416761071*\/ 3 / - 6038018161.58267*sin\22.5213416761071*\/ 3 /)

                                                          /                   ___\                       /                   ___\ 
(48.6702831033928, 122396.383566333 - 37035455654.9532*cos\24.3351415516964*\/ 3 / - 37035455654.9532*sin\24.3351415516964*\/ 3 /)

                                                         /                   ___\                      /                   ___\ 
(55.92548040291668, 184298.83022433 - 1393361378156.9*cos\27.9627402014583*\/ 3 / - 1393361378156.9*sin\27.9627402014583*\/ 3 /)

                                                           /                   ___\                       /                   ___\ 
(59.55307912463954, 221848.825866972 - 8546470975939.01*cos\29.7765395623198*\/ 3 / - 8546470975939.01*sin\29.7765395623198*\/ 3 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.213694180651414x_{1} = 0.213694180651414
x2=30.5317187982593x_{2} = 30.5317187982593
x3=52.2978816381335x_{3} = 52.2978816381335
x4=23.2643127228492x_{4} = 23.2643127228492
x5=15.7603834218774x_{5} = 15.7603834218774
x6=37.7874638078689x_{6} = 37.7874638078689
x7=45.0426833522141x_{7} = 45.0426833522141
x8=59.5530791246395x_{8} = 59.5530791246395
Puntos máximos de la función:
x8=−2.00803800768874x_{8} = -2.00803800768874
x8=34.1600036566586x_{8} = 34.1600036566586
x8=13.1286813076339x_{8} = 13.1286813076339
x8=41.4150899574143x_{8} = 41.4150899574143
x8=26.9074263687047x_{8} = 26.9074263687047
x8=19.7046440539138x_{8} = 19.7046440539138
x8=63.180677854351x_{8} = 63.180677854351
x8=48.6702831033928x_{8} = 48.6702831033928
x8=55.9254804029167x_{8} = 55.9254804029167
Decrece en los intervalos
[59.5530791246395,∞)\left[59.5530791246395, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.213694180651414]\left(-\infty, 0.213694180651414\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x+3(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex22+(sin⁡(3x2)+cos⁡(3x2))ex22+6=06 x + \frac{\sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11.3902639449296x_{1} = 11.3902639449296
x2=58.3438795494717x_{2} = 58.3438795494717
x3=40.2058862825688x_{3} = 40.2058862825688
x4=54.7162808214242x_{4} = 54.7162808214242
x5=14.7646312503378x_{5} = 14.7646312503378
x6=51.0886820905409x_{6} = 51.0886820905409
x7=18.4496848170964x_{7} = 18.4496848170964
x8=−0.870380484879061x_{8} = -0.870380484879061
x9=25.6958351604798x_{9} = 25.6958351604798
x10=36.5782850789671x_{10} = 36.5782850789671
x11=32.9507000861754x_{11} = 32.9507000861754
x12=43.8334845690735x_{12} = 43.8334845690735
x13=22.0660662936494x_{13} = 22.0660662936494
x14=29.3230259741669x_{14} = 29.3230259741669
x15=61.9714782780132x_{15} = 61.9714782780132
x16=47.461083375863x_{16} = 47.461083375863

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[58.3438795494717,∞)\left[58.3438795494717, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.870380484879061]\left(-\infty, -0.870380484879061\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 3*x^2 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2=−x3+3x2+(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x2\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} = - x^{3} + 3 x^{2} + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}
- No
(x3+3x2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2=x3−3x2−(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x2\left(x^{3} + 3 x^{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} = x^{3} - 3 x^{2} - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3+3*x^2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
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