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Trazado el gráfico de la función/ (2sin(x)-cos(x))/10(sin(x)+2cos²(x))+(1/10sqrt(5))*ln(tan(x/2)+atan2/2)

Gráfico de la función y = (2sin(x)-cos(x))/10(sin(x)+2cos²(x))+(1/10sqrt(5))*ln(tan(x/2)+atan2/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                  ___                      
       2*sin(x) - cos(x) /              2   \   \/ 5     /   /x\   atan(2)\
f(x) = -----------------*\sin(x) + 2*cos (x)/ + -----*log|tan|-| + -------|
               10                                 10     \   \2/      2   /
f(x)=2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)f{\left(x \right)} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} 
f = ((2*sin(x) - cos(x))/10)*(sin(x) + 2*cos(x)^2) + (sqrt(5)/10)*log(tan(x/2) + atan(2)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)=0\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.55356224024737x_{1} = 0.55356224024737
x2=−49.7119202171893x_{2} = -49.7119202171893
x3=−24.579178988471x_{3} = -24.579178988471
x4=82.234971233582x_{4} = 82.234971233582
x5=−62.2782908315485x_{5} = -62.2782908315485
x6=44.5358593905045x_{6} = 44.5358593905045
x7=88.5181565407616x_{7} = 88.5181565407616
x8=−18.2959936812914x_{8} = -18.2959936812914
x9=13.1199328546065x_{9} = 13.1199328546065
x10=−30.8623642956506x_{10} = -30.8623642956506
x11=94.8013418479412x_{11} = 94.8013418479412
x12=6.83674754742696x_{12} = 6.83674754742696
x13=75.9517859264024x_{13} = 75.9517859264024
x14=25.6863034689657x_{14} = 25.6863034689657
x15=63.3854153120432x_{15} = 63.3854153120432
x16=−37.1455496028302x_{16} = -37.1455496028302
x17=31.9694887761453x_{17} = 31.9694887761453
x18=57.1022300048636x_{18} = 57.1022300048636
x19=−68.5614761387281x_{19} = -68.5614761387281
x20=−81.1278467530873x_{20} = -81.1278467530873
x21=69.6686006192228x_{21} = 69.6686006192228
x22=−74.8446614459077x_{22} = -74.8446614459077
x23=−12.0128083741118x_{23} = -12.0128083741118
x24=50.8190446976841x_{24} = 50.8190446976841
x25=−93.6942173674464x_{25} = -93.6942173674464
x26=−5.72962306693222x_{26} = -5.72962306693222
x27=−43.4287349100097x_{27} = -43.4287349100097
x28=19.4031181617861x_{28} = 19.4031181617861
x29=−99.977402674626x_{29} = -99.977402674626
x30=−55.9951055243689x_{30} = -55.9951055243689
x31=101.084527155121x_{31} = 101.084527155121
x32=38.2526740833249x_{32} = 38.2526740833249
x33=−87.4110320602668x_{33} = -87.4110320602668
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2*sin(x) - cos(x))/10)*(sin(x) + 2*cos(x)^2) + (sqrt(5)/10)*log(tan(x/2) + atan(2)/2).
−cos⁡(0)+2sin⁡(0)10(sin⁡(0)+2cos⁡2(0))+510log⁡(tan⁡(02)+atan⁡(2)2)\frac{- \cos{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \right)}}{10} \left(\sin{\left(0 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(0 \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{0}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−15+5log⁡(atan⁡(2)2)10f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5} \log{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}}{10}
Punto:
(0, -1/5 + sqrt(5)*log(atan(2)/2)/10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−4sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x))(2sin⁡(x)−cos⁡(x))10+(sin⁡(x)10+cos⁡(x)5)(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+5(tan⁡2(x2)2+12)10(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)=0\frac{\left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{10} + \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{10} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5} \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}{10 \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(x)+2cos⁡(x))(4sin⁡(x)−1)cos⁡(x)−(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(2sin⁡(x)−cos⁡(x))−(2sin⁡(x)−cos⁡(x))(−4sin⁡2(x)+sin⁡(x)+4cos⁡2(x))+5(tan⁡2(x2)+1)tan⁡(x2)2tan⁡(x2)+atan⁡(2)−5(tan⁡2(x2)+1)2(2tan⁡(x2)+atan⁡(2))210=0\frac{- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(4 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} - \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5} \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}} - \frac{\sqrt{5} \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{\left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right)^{2}}}{10} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2*sin(x) - cos(x))/10)*(sin(x) + 2*cos(x)^2) + (sqrt(5)/10)*log(tan(x/2) + atan(2)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)=(−sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(−sin⁡(x)5−cos⁡(x)10)+5log⁡(−tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)10\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{10}\right) + \frac{\sqrt{5} \log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}}{10}
- No
2sin⁡(x)−cos⁡(x)10(sin⁡(x)+2cos⁡2(x))+510log⁡(tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)=−(−sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(−sin⁡(x)5−cos⁡(x)10)−5log⁡(−tan⁡(x2)+atan⁡(2)2)10\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{10} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{\sqrt{5}}{10} \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} = - \left(- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{10}\right) - \frac{\sqrt{5} \log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}}{10}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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