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Trazado el gráfico de la función/ 1-sin(2*t)/130+4*cos(2*t)/65+(cos(t*sqrt(3)/2)+sin(t*sqrt(3)/2))*exp(-t/2)+exp(t)

Gráfico de la función y = 1-sin(2*t)/130+4*cos(2*t)/65+(cos(t*sqrt(3)/2)+sin(t*sqrt(3)/2))*exp(-t/2)+exp(t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                                  -t      
                                   /   /    ___\      /    ___\\  ---     
           sin(2*t)   4*cos(2*t)   |   |t*\/ 3 |      |t*\/ 3 ||   2     t
f(t) = 1 - -------- + ---------- + |cos|-------| + sin|-------||*e    + e 
             130          65       \   \   2   /      \   2   //
f(t)=(((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+etf{\left(t \right)} = \left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t} 
f = -sin(2*t)/130 + 1 + (4*cos(2*t))/65 + (sin((sqrt(3)*t)/2) + cos((sqrt(3)*t)/2))*exp((-t)/2) + exp(t)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 1 - sin(2*t)/130 + (4*cos(2*t))/65 + (cos((t*sqrt(3))/2) + sin((t*sqrt(3))/2))*exp((-t)/2) + exp(t).
e0+((sin⁡(032)+cos⁡(032))e(−1)02+(4cos⁡(0⋅2)65+(−sin⁡(0⋅2)130+1)))e^{0} + \left(\left(\sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} + \left(\frac{4 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{65} + \left(- \frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{130} + 1\right)\right)\right)
Resultado:
f(0)=19965f{\left(0 \right)} = \frac{199}{65}
Punto:
(0, 199/65)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
3(sin⁡(3t2)−cos⁡(3t2))e−t22−(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e−t22+et+2sin⁡(2t)65−16cos⁡(2t)65=0\frac{\sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{- \frac{t}{2}}}{2} - \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{- \frac{t}{2}}}{2} + e^{t} + \frac{2 \sin{\left(2 t \right)}}{65} - \frac{16 \cos{\left(2 t \right)}}{65} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−67.4128763707051t_{1} = -67.4128763707051
t2=0.25956929496843t_{2} = 0.25956929496843
t3=−20.2541001685721t_{3} = -20.2541001685721
t4=−5.73980429622544t_{4} = -5.73980429622544
t5=−52.9024814568316t_{5} = -52.9024814568316
t6=−63.7852776422367t_{6} = -63.7852776422367
t7=−49.274882728365t_{7} = -49.274882728365
t8=−56.5300801852997t_{8} = -56.5300801852997
t9=−2.02468538144467t_{9} = -2.02468538144467
t10=−27.5092903755368t_{10} = -27.5092903755368
t11=−31.1368891132555t_{11} = -31.1368891132555
t12=−45.6472839998697t_{12} = -45.6472839998697
t13=−38.3920865432415t_{13} = -38.3920865432415
t14=−16.6264871471565t_{14} = -16.6264871471565
t15=−60.1576789137682t_{15} = -60.1576789137682
t16=−23.8816904800935t_{16} = -23.8816904800935
t17=−9.37311504995231t_{17} = -9.37311504995231
t18=−12.9986704699333t_{18} = -12.9986704699333
t19=−34.7644878090058t_{19} = -34.7644878090058
t20=−42.0196852715196t_{20} = -42.0196852715196

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.25956929496843,∞)\left[0.25956929496843, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−63.7852776422367]\left(-\infty, -63.7852776422367\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞((((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+et)=⟨−∞,∞⟩\lim_{t \to -\infty}\left(\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡t→∞((((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+et)=∞\lim_{t \to \infty}\left(\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - sin(2*t)/130 + (4*cos(2*t))/65 + (cos((t*sqrt(3))/2) + sin((t*sqrt(3))/2))*exp((-t)/2) + exp(t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=tlim⁡t→−∞((((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+ett)y = t \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t}}{t}\right)
lim⁡t→∞((((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+ett)=∞\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t}}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
(((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+et=(−sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))et2+sin⁡(2t)130+4cos⁡(2t)65+1+e−t\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t} = \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{t}{2}} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65} + 1 + e^{- t}
- No
(((−sin⁡(2t)130+1)+4cos⁡(2t)65)+(sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))e(−1)t2)+et=−(−sin⁡(3t2)+cos⁡(3t2))et2−sin⁡(2t)130−4cos⁡(2t)65−1−e−t\left(\left(\left(- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} + 1\right) + \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65}\right) + \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) t}{2}}\right) + e^{t} = - \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} t}{2} \right)}\right) e^{\frac{t}{2}} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{130} - \frac{4 \cos{\left(2 t \right)}}{65} - 1 - e^{- t}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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