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sqrt(2)*cos(2*x)<1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
  ___             
\/ 2 *cos(2*x) < 1
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} < 1$$
sqrt(2)*cos(2*x) < 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(2)

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$2 x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} < 1$$
$$\sqrt{2} \cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} < 1$$
  ___    /  1   pi       \    
\/ 2 *cos|- - + -- + pi*n| < 1
         \  5   4        /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x > \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /             /   ___________\      /   ___________\    \
   |             |  /       ___ |      |  /       ___ |    |
   |             |\/  2 - \/ 2  |      |\/  2 - \/ 2  |    |
And|x < pi - atan|--------------|, atan|--------------| < x|
   |             |   ___________|      |   ___________|    |
   |             |  /       ___ |      |  /       ___ |    |
   \             \\/  2 + \/ 2  /      \\/  2 + \/ 2  /    /
$$x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} < x$$
(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))) < x)∧(x < pi - atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))))
Respuesta rápida 2 [src]
     /   ___________\           /   ___________\ 
     |  /       ___ |           |  /       ___ | 
     |\/  2 - \/ 2  |           |\/  2 - \/ 2  | 
(atan|--------------|, pi - atan|--------------|)
     |   ___________|           |   ___________| 
     |  /       ___ |           |  /       ___ | 
     \\/  2 + \/ 2  /           \\/  2 + \/ 2  / 
$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}\right)$$
x in Interval.open(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)), pi - atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)))