Sr Examen

Otras calculadoras

sin(x/2)*cos(x/2)>=1/4
Resolver desigualdades/ sin(x/2)*cos(x/2)>=1/4

sin(x/2)*cos(x/2)>=1/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /x\    /x\       
sin|-|*cos|-| >= 1/4
   \2/    \2/
sin⁡(x2)cos⁡(x2)≥14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4} 
sin(x/2)*cos(x/2) >= 1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)≥14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)=14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{4}
Resolvemos:
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
Las raíces dadas
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x3x_{0} \leq x_{3}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x3−110x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}
=
−4atan⁡(3+2+23+2)−110- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
=
−4atan⁡(3+2+23+2)−110- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x2)cos⁡(x2)≥14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}
sin⁡(−4atan⁡(3+2+23+2)−1102)cos⁡(−4atan⁡(3+2+23+2)−1102)≥14\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}
    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\       
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||       
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| >= 1/4
    \20                                       /    \20                                       /

pero
    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\      
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||      
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| < 1/4
    \20                                       /    \20                                       /

Entonces
x≤−4atan⁡(3+2+23+2)x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−4atan⁡(3+2+23+2)∧x≤−4atan⁡(−3+22−3+2)x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−4atan⁡(3+2+23+2)∧x≤−4atan⁡(−3+22−3+2)x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x≥−4atan⁡(−23+2+3+2)∧x≤4atan⁡(−2+22−3+3)x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050601-1
Respuesta rápida [src] 
   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \6              6  /
π6≤x∧x≤5π6\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6} 
(pi/6 <= x)∧(x <= 5*pi/6)
Respuesta rápida 2 [src] 
 pi  5*pi 
[--, ----]
 6    6
x in [π6,5π6]x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right] 
x in Interval(pi/6, 5*pi/6)
Gráfico
sin(x/2)*cos(x/2)>=1/4 desigualdades
    © Sr Examen – Калькулятор