Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
(x+4)(x-8)>0
-
(x+4)*(x-8)>0
-
(x-1)^2>0
-
(x-1)^2*(x-4)<=0
- Integral de d{x}:
- sin(x/2)*cos(x/2)
-
Expresiones idénticas
- sin(x/ dos)*cos(x/ dos)>= uno / cuatro
- seno de (x dividir por 2) multiplicar por coseno de (x dividir por 2) más o igual a 1 dividir por 4
- seno de (x dividir por dos) multiplicar por coseno de (x dividir por dos) más o igual a uno dividir por cuatro
- sin(x/2)cos(x/2)>=1/4
- sinx/2cosx/2>=1/4
- sin(x dividir por 2)*cos(x dividir por 2)>=1 dividir por 4
-
Expresiones semejantes
- sinx/2*cosx/2>1/2
- sin(x/2)cos(x/2)>=1/4
- sinx/2cosx/2>=1/4
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sinx>√3/2
- sin(x/4)<-sqrt3/2
- sin(x)>-√3/2
- sinx>=-1
- sin(x)>-sqrt3/2
- Coseno cos
- cosx<√2/2
- cosx<1/2
- cosx/2>-1/2
- cosx>√3/2
- cosx>=x^2+1
sin(x/2)*cos(x/2)>=1/4 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
/x\ /x\ sin|-|*cos|-| >= 1/4 \2/ \2/
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
sin(x/2)*cos(x/2) >= 1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
pero
Entonces
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
$$\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \geq \frac{1}{4}$$
/ / ___________\\ / / ___________\\
|1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /| >= 1/4
\20 / \20 /
pero
/ / ___________\\ / / ___________\\
|1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /| < 1/4
\20 / \20 /
Entonces
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
_____ _____
/ \ / \
-------•-------•-------•-------•-------
x3 x2 x4 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/pi 5*pi\ And|-- <= x, x <= ----| \6 6 /
$$\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
(pi/6 <= x)∧(x <= 5*pi/6)
Respuesta rápida 2
[src]
pi 5*pi [--, ----] 6 6
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
x in Interval(pi/6, 5*pi/6)
Gráfico