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Resolución de integrales/ arctg/ ctg^2×3x/ 1+9x^2/ pi/((1+9x^2)×(arctg^2×3x))

Integral de pi/((1+9x^2)×(arctg^2×3x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                         
  /                         
 |                          
 |            pi            
 |  --------------------- dx
 |  /       2\     2        
 |  \1 + 9*x /*atan (3)*x   
 |                          
/                           
1/3
∫13∞πxatan⁡2(3)(9x2+1) dx\int\limits_{\frac{1}{3}}^{\infty} \frac{\pi}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx 
Integral(pi/(((1 + 9*x^2)*(atan(3)^2*x))), (x, 1/3, oo))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫πxatan⁡2(3)(9x2+1) dx=π∫1xatan⁡2(3)(9x2+1) dx\int \frac{\pi}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx = \pi \int \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1xatan⁡2(3)(9x2+1)=−9x(9x2+1)atan⁡2(3)+1xatan⁡2(3)\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)} = - \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} + \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−9x(9x2+1)atan⁡2(3)) dx=−9∫x9x2+1 dxatan⁡2(3)\int \left(- \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x9x2+1 dx=∫18x9x2+1 dx18\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}

            1. que u=9x2+1u = 9 x^{2} + 1.

              Luego que du=18xdxdu = 18 x dx y ponemos du18\frac{du}{18}:

              ∫118u du\int \frac{1}{18 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(9x2+1)\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(9x2+1)18\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)- \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1xatan⁡2(3) dx=∫1x dxatan⁡2(3)\int \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        El resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)−log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1xatan⁡2(3)(9x2+1)=19x3atan⁡2(3)+xatan⁡2(3)\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{9 x^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} + x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        19x3atan⁡2(3)+xatan⁡2(3)=−9x(9x2+1)atan⁡2(3)+1xatan⁡2(3)\frac{1}{9 x^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} + x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} = - \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} + \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−9x(9x2+1)atan⁡2(3)) dx=−9∫x9x2+1 dxatan⁡2(3)\int \left(- \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x9x2+1 dx=∫18x9x2+1 dx18\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}

            1. que u=9x2+1u = 9 x^{2} + 1.

              Luego que du=18xdxdu = 18 x dx y ponemos du18\frac{du}{18}:

              ∫118u du\int \frac{1}{18 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(9x2+1)\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(9x2+1)18\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)- \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1xatan⁡2(3) dx=∫1x dxatan⁡2(3)\int \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        El resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)−log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1xatan⁡2(3)(9x2+1)=19x3atan⁡2(3)+xatan⁡2(3)\frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{9 x^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} + x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        19x3atan⁡2(3)+xatan⁡2(3)=−9x(9x2+1)atan⁡2(3)+1xatan⁡2(3)\frac{1}{9 x^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} + x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} = - \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} + \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−9x(9x2+1)atan⁡2(3)) dx=−9∫x9x2+1 dxatan⁡2(3)\int \left(- \frac{9 x}{\left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x9x2+1 dx=∫18x9x2+1 dx18\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}

            1. que u=9x2+1u = 9 x^{2} + 1.

              Luego que du=18xdxdu = 18 x dx y ponemos du18\frac{du}{18}:

              ∫118u du\int \frac{1}{18 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(9x2+1)\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(9x2+1)18\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)- \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1xatan⁡2(3) dx=∫1x dxatan⁡2(3)\int \frac{1}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

        El resultado es: log⁡(x)atan⁡2(3)−log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

    Por lo tanto, el resultado es: π(log⁡(x)atan⁡2(3)−log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3))\pi \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\right)

  2. Ahora simplificar:

    π(2log⁡(x)−log⁡(9x2+1))2atan⁡2(3)\frac{\pi \left(2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}\right)}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(2log⁡(x)−log⁡(9x2+1))2atan⁡2(3)+constant\frac{\pi \left(2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}\right)}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(2log⁡(x)−log⁡(9x2+1))2atan⁡2(3)+constant\frac{\pi \left(2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}\right)}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                   /              /       2\\
 |           pi                      | log(x)    log\1 + 9*x /|
 | --------------------- dx = C + pi*|-------- - -------------|
 | /       2\     2                  |    2              2    |
 | \1 + 9*x /*atan (3)*x             \atan (3)     2*atan (3) /
 |                                                             
/
∫πxatan⁡2(3)(9x2+1) dx=C+π(log⁡(x)atan⁡2(3)−log⁡(9x2+1)2atan⁡2(3))\int \frac{\pi}{x \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)} \left(9 x^{2} + 1\right)}\, dx = C + \pi \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}\right)
Simplificar
Gráfica
0.33400.33500.33600.33700.33800.33900.34000.34100.34200.34305-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi*log(2) 
----------
      2   
2*atan (3)
πlog⁡(2)2atan⁡2(3)\frac{\pi \log{\left(2 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} 
=
= 
pi*log(2) 
----------
      2   
2*atan (3)
πlog⁡(2)2atan⁡2(3)\frac{\pi \log{\left(2 \right)}}{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}} 
pi*log(2)/(2*atan(3)^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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