Integral de sin(8x)*cos(8x)/sqrt(4-sin(8x)^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(8 x \right)}$.

      Luego que $du = 8 \cos{\left(8 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u}{8 \sqrt{4 - u^{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{\sqrt{4 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{u}{\sqrt{4 - u^{2}}}\, du}{8}$

         1. que $u = 4 - u^{2}$.

            Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{4 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{4 - u^{2}}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}{8}$

   Método #2

   1. que $u = 8 x$.

      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{8 \sqrt{4 - \sin^{2}{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(u \right)}}}\, du}{8}$

         1. que $u = 4 - \sin^{2}{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{4 - \sin^{2}{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(u \right)}}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}{8}$

   Método #3

   1. que $u = \sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}$.

      Luego que $du = - \frac{8 \sin{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)} dx}{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}$ y ponemos $- \frac{du}{8}$:

      $\int \left(- \frac{1}{8}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{4 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}}}{8}+ \mathrm{constant}$