Integral de x*log(1+2/x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{2}{x}\right)}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{1}{1 + \frac{2}{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{1 + \frac{2}{x}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{x}{x + 2}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{2} + x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{2} + x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$