Sr Examen

Integral de 2/sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1          
  /          
 |           
 |    2      
 |  ------ dx
 |  sin(x)   
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(2/sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /         
 |          
 |   2      
 | ------ dx
 | sin(x)   
 |          
/           
La función subintegral
  2   
------
sin(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(x)
obtendremos
  2      2*sin(x)
------ = --------
sin(x)      2    
         sin (x) 
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)
cambiamos denominador
2*sin(x)     2*sin(x) 
-------- = -----------
   2              2   
sin (x)    1 - cos (x)
hacemos el cambio
u = cos(x)
entonces integral
  /                
 |                 
 |   2*sin(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
  /                
 |                 
 |   2*sin(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  
Como du = -dx*sin(x)
  /         
 |          
 |  -2      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           
Reescribimos la función subintegral
 -2      2*(-1) /  1       1  \
------ = ------*|----- + -----|
     2     2    \1 - u   1 + u/
1 - u                          
entonces
  /                /             /          
 |                |             |           
 |  -2            |   1         |   1       
 | ------ du = -  | ----- du -  | ----- du  
 |      2         | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - u          |             |           
 |               /             /            
/                                           
  
= -log(1 + u) + log(-1 + u)
hacemos cambio inverso
u = cos(x)
Respuesta
  /                                                    
 |                                                     
 |   2                                                 
 | ------ dx = -log(1 + cos(x)) + log(-1 + cos(x)) + C0
 | sin(x)                                              
 |                                                     
/                                                      
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                                   
 |   2                                               
 | ------ dx = C - log(1 + cos(x)) + log(-1 + cos(x))
 | sin(x)                                            
 |                                                   
/                                                    
$$\int \frac{2}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
oo + pi*I
$$\infty + i \pi$$
=
=
oo + pi*I
$$\infty + i \pi$$
oo + pi*i
Respuesta numérica [src]
88.3580217372225
88.3580217372225

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.