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Resolución de integrales/ -sinx/ -cosx/ x*cosx/ sinx*cosx*(-cosx-sinx)

Integral de sinx*cosx*(-cosx-sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                    
 --                                    
 2                                     
  /                                    
 |                                     
 |  sin(x)*cos(x)*(-cos(x) - sin(x)) dx
 |                                     
/                                      
pi                                     
--                                     
4
∫π4π2sin⁡(x)cos⁡(x)(−sin⁡(x)−cos⁡(x)) dx\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((sin(x)*cos(x))*(-cos(x) - sin(x)), (x, pi/4, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)cos⁡(x)(−sin⁡(x)−cos⁡(x))=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −sin⁡3(x)3+cos⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)cos⁡(x)(−sin⁡(x)−cos⁡(x))=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −sin⁡3(x)3+cos⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡3(x)3+cos⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡3(x)3+cos⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             3         3   
 |                                           sin (x)   cos (x)
 | sin(x)*cos(x)*(-cos(x) - sin(x)) dx = C - ------- + -------
 |                                              3         3   
/
∫sin⁡(x)cos⁡(x)(−sin⁡(x)−cos⁡(x)) dx=C−sin⁡3(x)3+cos⁡3(x)3\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.800.850.900.951.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.551.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
=
= 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
-1/3
Respuesta numérica [src] 
-0.333333333333333
-0.333333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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