Sr Examen

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Resolución de integrales/ 2+x^3/ x^2+x/ 1-x^2/ (1-x^2+x^3)*cos(3*pi*x)

Integral de (1-x^2+x^3)*cos(3*pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /     2    3\               
 |  \1 - x  + x /*cos(3*pi*x) dx
 |                              
/                               
-1
∫−11(x3+(1−x2))cos⁡(3πx) dx\int\limits_{-1}^{1} \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right) \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx 
Integral((1 - x^2 + x^3)*cos((3*pi)*x), (x, -1, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+(1−x2))cos⁡(3πx)=x3cos⁡(3πx)−x2cos⁡(3πx)+cos⁡(3πx)\left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right) \cos{\left(3 \pi x \right)} = x^{3} \cos{\left(3 \pi x \right)} - x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)} + \cos{\left(3 \pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2πu{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2x3π2u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3 \pi^{2}} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−23π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{3 \pi^{2}}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(3πx)9π3) dx=−2∫sin⁡(3πx) dx9π3\int \left(- \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(3 \pi x \right)}\, dx}{9 \pi^{3}}

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(3πx)27π4\frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2cos⁡(3πx)) dx=−∫x2cos⁡(3πx) dx\int \left(- x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2x3πu{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3 \pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=23π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3 \pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(3πx)9π2) dx=−2∫cos⁡(3πx) dx9π2\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx}{9 \pi^{2}}

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3πx)27π3- \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2sin⁡(3πx)3π−2xcos⁡(3πx)9π2+2sin⁡(3πx)27π3- \frac{x^{2} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 x \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}} + \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}}

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      El resultado es: x3sin⁡(3πx)3π−x2sin⁡(3πx)3π+x2cos⁡(3πx)3π2−2xsin⁡(3πx)9π3−2xcos⁡(3πx)9π2+2sin⁡(3πx)27π3+sin⁡(3πx)3π−2cos⁡(3πx)27π4\frac{x^{3} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} + \frac{x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi^{2}} - \frac{2 x \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}} - \frac{2 x \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}} + \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}} + \frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x3−x2+1u{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3x2−2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x(3x−2)3πu{\left(x \right)} = \frac{x \left(3 x - 2\right)}{3 \pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 \pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=xπ+3x−23π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{x}{\pi} + \frac{3 x - 2}{3 \pi}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−2(3x−1)9π2u{\left(x \right)} = - \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{9 \pi^{2}} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−23π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{3 \pi^{2}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(3πx)9π3) dx=−2∫sin⁡(3πx) dx9π3\int \left(- \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(3 \pi x \right)}\, dx}{9 \pi^{3}}

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(3πx)27π4\frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+(1−x2))cos⁡(3πx)=x3cos⁡(3πx)−x2cos⁡(3πx)+cos⁡(3πx)\left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right) \cos{\left(3 \pi x \right)} = x^{3} \cos{\left(3 \pi x \right)} - x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)} + \cos{\left(3 \pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2πu{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\pi}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2x3π2u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3 \pi^{2}} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−23π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{3 \pi^{2}}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(3πx)9π3) dx=−2∫sin⁡(3πx) dx9π3\int \left(- \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(3 \pi x \right)}\, dx}{9 \pi^{3}}

        1. que u=3πxu = 3 \pi x.

          Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

          ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(3πx)27π4\frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2cos⁡(3πx)) dx=−∫x2cos⁡(3πx) dx\int \left(- x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2x3πu{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3 \pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(3πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=23π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3 \pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫sin⁡(u)3π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3πx)3π- \frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(3πx)9π2) dx=−2∫cos⁡(3πx) dx9π2\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx}{9 \pi^{2}}

          1. que u=3πxu = 3 \pi x.

            Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

            ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3πx)27π3- \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2sin⁡(3πx)3π−2xcos⁡(3πx)9π2+2sin⁡(3πx)27π3- \frac{x^{2} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 x \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}} + \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}}

      1. que u=3πxu = 3 \pi x.

        Luego que du=3πdxdu = 3 \pi dx y ponemos du3π\frac{du}{3 \pi}:

        ∫cos⁡(u)3π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3π\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3πx)3π\frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi}

      El resultado es: x3sin⁡(3πx)3π−x2sin⁡(3πx)3π+x2cos⁡(3πx)3π2−2xsin⁡(3πx)9π3−2xcos⁡(3πx)9π2+2sin⁡(3πx)27π3+sin⁡(3πx)3π−2cos⁡(3πx)27π4\frac{x^{3} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} + \frac{x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi^{2}} - \frac{2 x \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}} - \frac{2 x \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}} + \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}} + \frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

  2. Ahora simplificar:

    3π2x(3x−2)cos⁡(3πx)+2π(1−3x)sin⁡(3πx)+9π3(x3−x2+1)sin⁡(3πx)−2cos⁡(3πx)27π4\frac{3 \pi^{2} x \left(3 x - 2\right) \cos{\left(3 \pi x \right)} + 2 \pi \left(1 - 3 x\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} + 9 \pi^{3} \left(x^{3} - x^{2} + 1\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} - 2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3π2x(3x−2)cos⁡(3πx)+2π(1−3x)sin⁡(3πx)+9π3(x3−x2+1)sin⁡(3πx)−2cos⁡(3πx)27π4+constant\frac{3 \pi^{2} x \left(3 x - 2\right) \cos{\left(3 \pi x \right)} + 2 \pi \left(1 - 3 x\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} + 9 \pi^{3} \left(x^{3} - x^{2} + 1\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} - 2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3π2x(3x−2)cos⁡(3πx)+2π(1−3x)sin⁡(3πx)+9π3(x3−x2+1)sin⁡(3πx)−2cos⁡(3πx)27π4+constant\frac{3 \pi^{2} x \left(3 x - 2\right) \cos{\left(3 \pi x \right)} + 2 \pi \left(1 - 3 x\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} + 9 \pi^{3} \left(x^{3} - x^{2} + 1\right) \sin{\left(3 \pi x \right)} - 2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                     
 |                                                                                                                       2                3                2            
 | /     2    3\                      2*cos(3*pi*x)   sin(3*pi*x)   2*sin(3*pi*x)   2*x*sin(3*pi*x)   2*x*cos(3*pi*x)   x *sin(3*pi*x)   x *sin(3*pi*x)   x *cos(3*pi*x)
 | \1 - x  + x /*cos(3*pi*x) dx = C - ------------- + ----------- + ------------- - --------------- - --------------- - -------------- + -------------- + --------------
 |                                             4          3*pi               3               3                 2             3*pi             3*pi                2     
/                                         27*pi                         27*pi            9*pi              9*pi                                               3*pi
∫(x3+(1−x2))cos⁡(3πx) dx=C+x3sin⁡(3πx)3π−x2sin⁡(3πx)3π+x2cos⁡(3πx)3π2−2xsin⁡(3πx)9π3−2xcos⁡(3πx)9π2+2sin⁡(3πx)27π3+sin⁡(3πx)3π−2cos⁡(3πx)27π4\int \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right) \cos{\left(3 \pi x \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{x^{2} \sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} + \frac{x^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi^{2}} - \frac{2 x \sin{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{3}} - \frac{2 x \cos{\left(3 \pi x \right)}}{9 \pi^{2}} + \frac{2 \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}} + \frac{\sin{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{4}}
Simplificar
Gráfica
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.82-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  4  
-----
    2
9*pi
49π2\frac{4}{9 \pi^{2}} 
=
= 
  4  
-----
    2
9*pi
49π2\frac{4}{9 \pi^{2}} 
4/(9*pi^2)
Respuesta numérica [src] 
0.0450316371743723
0.0450316371743723

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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