Integral de sin(5x)cos(2x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 32 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 16 \sin^{5}{\left(x \right)} - 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 20 \sin^{3}{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{64 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 16 \sin^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 16 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 20 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = 20 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 20 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(- 96 \cos^{6}{\left(x \right)} + 168 \cos^{4}{\left(x \right)} - 98 \cos^{2}{\left(x \right)} + 21\right) \cos{\left(x \right)}}{21}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(- 96 \cos^{6}{\left(x \right)} + 168 \cos^{4}{\left(x \right)} - 98 \cos^{2}{\left(x \right)} + 21\right) \cos{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 96 \cos^{6}{\left(x \right)} + 168 \cos^{4}{\left(x \right)} - 98 \cos^{2}{\left(x \right)} + 21\right) \cos{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$