Integral de sqrt(exp(x))/(sqrt(exp(x))+exp(-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{\sqrt{u} + u^{2}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{2}}{u^{3} + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\, du$

            1. que $u = u^{3} + 1$.

               Luego que $du = 3 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{3 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(u^{3} + 1 \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(u^{3} + 1 \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(u^{\frac{3}{2}} + 1 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \log{\left(\left(e^{x}\right)^{\frac{3}{2}} + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{e^{x}}}{\sqrt{e^{x}} + e^{- x}} = \frac{\sqrt{e^{x}} e^{x}}{\sqrt{e^{x}} e^{x} + 1}$

   2. que $u = \sqrt{e^{x}} e^{x} + 1$.

      Luego que $du = \frac{3 \sqrt{e^{x}} e^{x} dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \log{\left(\sqrt{e^{x}} e^{x} + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \log{\left(\left(e^{x}\right)^{\frac{3}{2}} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \log{\left(\left(e^{x}\right)^{\frac{3}{2}} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$