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Resolución de integrales/ cos(x)/ y=1-ln(cos(x))

Integral de y=1-ln(cos(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
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 |  (1 - log(cos(x))) dx
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0
∫01(1−log⁡(cos⁡(x))) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx 
Integral(1 - log(cos(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(cos⁡(x))) dx=−∫log⁡(cos⁡(x)) dx\int \left(- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(cos⁡(x))u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx- \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −xlog⁡(cos⁡(x))−∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

    El resultado es: −xlog⁡(cos⁡(x))+x−∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + x - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

  2. Ahora simplificar:

    −xlog⁡(cos⁡(x))+x−∫xtan⁡(x) dx- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + x - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xlog⁡(cos⁡(x))+x−∫xtan⁡(x) dx+constant- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + x - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xlog⁡(cos⁡(x))+x−∫xtan⁡(x) dx+constant- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + x - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                    /                           
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 |                                 | x*sin(x)                   
 | (1 - log(cos(x))) dx = C + x -  | -------- dx - x*log(cos(x))
 |                                 |  cos(x)                    
/                                  |                            
                                  /
∫(1−log⁡(cos⁡(x))) dx=C−xlog⁡(cos⁡(x))+x−∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx = C - x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + x - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
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 |  (1 - log(cos(x))) dx
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0
∫01(1−log⁡(cos⁡(x))) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx 
=
= 
  1                     
  /                     
 |                      
 |  (1 - log(cos(x))) dx
 |                      
/                       
0
∫01(1−log⁡(cos⁡(x))) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right)\, dx 
Integral(1 - log(cos(x)), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
1.18753816902084
1.18753816902084

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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