Integral de ((x^2)/2)*sin((pi*x)/4) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

      $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - \frac{4 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4}{\pi}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

      $\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{16 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{16 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi^{2}}$

   1. que $u = \frac{\pi x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{\pi dx}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{\pi}$:

      $\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{64 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}$

4. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{3}}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 8 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 32 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$