Integral de (cos(3*x)*(sin(x))) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = \sin^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

               El resultado es: $- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$