Integral de (ln(x)sqrt(1+ln^2(x)))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u \sqrt{u^{2} + 1}\, du$

      1. que $u = u^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}^{2} + 1$.

      Luego que $du = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #3

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1$.

            Luego que $du = - \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} du}{u}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$