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Resolución de integrales/ tg(x)/ arctg/ 1+x^2/ arctg(x)/sqrt(1+x^2)

Integral de arctg(x)/sqrt(1+x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |    atan(x)     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 + x     
 |                
/                 
0
∫0∞atan⁡(x)x2+1 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx 
Integral(atan(x)/sqrt(1 + x^2), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x2+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}.

    Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(x**2 + 1), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫asinh⁡(x)x2+1 dx\int \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    asinh⁡(x)atan⁡(x)−∫asinh⁡(x)x2+1 dx+constant\operatorname{asinh}{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

asinh⁡(x)atan⁡(x)−∫asinh⁡(x)x2+1 dx+constant\operatorname{asinh}{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       /                              
 |                       |                               
 |   atan(x)             | asinh(x)                      
 | ----------- dx = C -  | -------- dx + asinh(x)*atan(x)
 |    ________           |       2                       
 |   /      2            |  1 + x                        
 | \/  1 + x             |                               
 |                      /                                
/
∫atan⁡(x)x2+1 dx=C+asinh⁡(x)atan⁡(x)−∫asinh⁡(x)x2+1 dx\int \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx = C + \operatorname{asinh}{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |    atan(x)     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 + x     
 |                
/                 
0
∫0∞atan⁡(x)x2+1 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx 
=
= 
 oo               
  /               
 |                
 |    atan(x)     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 + x     
 |                
/                 
0
∫0∞atan⁡(x)x2+1 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx 
Integral(atan(x)/sqrt(1 + x^2), (x, 0, oo))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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