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Integral de (exp(x)-1)/(1-cos(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |               
 |     x         
 |    e  - 1     
 |  ---------- dx
 |  1 - cos(x)   
 |               
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0                
01ex11cos(x)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{x} - 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx
Integral((exp(x) - 1)/(1 - cos(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex11cos(x)=ex1cos(x)1\frac{e^{x} - 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{e^{x} - 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (ex1cos(x)1)dx=ex1cos(x)1dx\int \left(- \frac{e^{x} - 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x} - 1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        ex1cos(x)1=excos(x)11cos(x)1\frac{e^{x} - 1}{\cos{\left(x \right)} - 1} = \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}

      2. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          excos(x)1dx\int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (1cos(x)1)dx=1cos(x)1dx\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            1tan(x2)\frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1tan(x2)- \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        El resultado es: excos(x)1dx1tan(x2)\int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx - \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: excos(x)1dx+1tan(x2)- \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx + \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex11cos(x)=ex1cos(x)11cos(x)\frac{e^{x} - 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{e^{x}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        ex1cos(x)=excos(x)1\frac{e^{x}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (excos(x)1)dx=excos(x)1dx\int \left(- \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          excos(x)1dx\int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: excos(x)1dx- \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (11cos(x))dx=11cos(x)dx\int \left(- \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          11cos(x)=1cos(x)1\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (1cos(x)1)dx=1cos(x)1dx\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            1tan(x2)\frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1tan(x2)- \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 1tan(x2)\frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      El resultado es: excos(x)1dx+1tan(x2)- \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx + \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    excos(x)1dx+1tan(x2)+constant- \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx + \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

excos(x)1dx+1tan(x2)+constant- \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx + \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |    x                          |       x       
 |   e  - 1              1       |      e        
 | ---------- dx = C + ------ -  | ----------- dx
 | 1 - cos(x)             /x\    | -1 + cos(x)   
 |                     tan|-|    |               
/                         \2/   /                
ex11cos(x)dx=Cexcos(x)1dx+1tan(x2)\int \frac{e^{x} - 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \int \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx + \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}
Respuesta [src]
                         1               
    1                    /               
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   |                    |        x       
   |      -1            |       e        
-  |  ----------- dx -  |  ----------- dx
   |  -1 + cos(x)       |  -1 + cos(x)   
   |                    |                
  /                    /                 
  0                    0                 
01(1cos(x)1)dx01excos(x)1dx- \int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx
=
=
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    1                    /               
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   |                    |        x       
   |      -1            |       e        
-  |  ----------- dx -  |  ----------- dx
   |  -1 + cos(x)       |  -1 + cos(x)   
   |                    |                
  /                    /                 
  0                    0                 
01(1cos(x)1)dx01excos(x)1dx- \int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx - \int\limits_{0}^{1} \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx
-Integral(-1/(-1 + cos(x)), (x, 0, 1)) - Integral(exp(x)/(-1 + cos(x)), (x, 0, 1))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.