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Integral de arcctg(2x)/(pi^2(4x^2+1)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo                  
  /                  
 |                   
 |    acot(2*x)      
 |  -------------- dx
 |    2 /   2    \   
 |  pi *\4*x  + 1/   
 |                   
/                    
1/2                  
12acot(2x)π2(4x2+1)dx\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\infty} \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx
Integral(acot(2*x)/((pi^2*(4*x^2 + 1))), (x, 1/2, oo))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=acot(2x)u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}.

      Luego que du=2dx4x2+1du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1} y ponemos du2π2- \frac{du}{2 \pi^{2}}:

      (u2π2)du\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        udu=udu2π2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: u24π2- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      acot2(2x)4π2- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      acot(2x)π2(4x2+1)=acot(2x)4π2x2+π2\frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2} x^{2} + \pi^{2}}

    2. que u=acot(2x)u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}.

      Luego que du=2dx4x2+1du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1} y ponemos du2π2- \frac{du}{2 \pi^{2}}:

      (u2π2)du\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        udu=udu2π2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: u24π2- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      acot2(2x)4π2- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      acot(2x)π2(4x2+1)=acot(2x)4π2x2+π2\frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2} x^{2} + \pi^{2}}

    2. que u=acot(2x)u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}.

      Luego que du=2dx4x2+1du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1} y ponemos du2π2- \frac{du}{2 \pi^{2}}:

      (u2π2)du\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        udu=udu2π2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: u24π2- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      acot2(2x)4π2- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    acot2(2x)4π2+constant- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

acot2(2x)4π2+constant- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                  
 |                             2     
 |   acot(2*x)             acot (2*x)
 | -------------- dx = C - ----------
 |   2 /   2    \                2   
 | pi *\4*x  + 1/            4*pi    
 |                                   
/                                    
acot(2x)π2(4x2+1)dx=Cacot2(2x)4π2\int \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx = C - \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}
Gráfica
0.50000.51000.50100.50200.50300.50400.50500.50600.50700.50800.50900.05-0.05
Respuesta [src]
1/64
164\frac{1}{64}
=
=
1/64
164\frac{1}{64}
1/64

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.