Integral de arcctg(2x)/(pi^2(4x^2+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $- \frac{du}{2 \pi^{2}}$:

      $\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2} x^{2} + \pi^{2}}$

   2. que $u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $- \frac{du}{2 \pi^{2}}$:

      $\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{\pi^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{\operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2} x^{2} + \pi^{2}}$

   2. que $u = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $- \frac{du}{2 \pi^{2}}$:

      $\int \left(- \frac{u}{2 \pi^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2 \pi^{2}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4 \pi^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\operatorname{acot}^{2}{\left(2 x \right)}}{4 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$