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Resolución de integrales/ sin(5x)/ (x+pi)*sin(5x)

Integral de (x+pi)*sin(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                     
  /                     
 |                      
 |  (x + pi)*sin(5*x) dx
 |                      
/                       
0
∫0π(x+π)sin⁡(5x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(x + \pi\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral((x + pi)*sin(5*x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+π)sin⁡(5x)=xsin⁡(5x)+πsin⁡(5x)\left(x + \pi\right) \sin{\left(5 x \right)} = x \sin{\left(5 x \right)} + \pi \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫πsin⁡(5x) dx=π∫sin⁡(5x) dx\int \pi \sin{\left(5 x \right)}\, dx = \pi \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −πcos⁡(5x)5- \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −xcos⁡(5x)5+sin⁡(5x)25−πcos⁡(5x)5- \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+πu{\left(x \right)} = x + \pi y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+π)sin⁡(5x)=xsin⁡(5x)+πsin⁡(5x)\left(x + \pi\right) \sin{\left(5 x \right)} = x \sin{\left(5 x \right)} + \pi \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫πsin⁡(5x) dx=π∫sin⁡(5x) dx\int \pi \sin{\left(5 x \right)}\, dx = \pi \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −πcos⁡(5x)5- \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −xcos⁡(5x)5+sin⁡(5x)25−πcos⁡(5x)5- \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(5x)5+sin⁡(5x)25−πcos⁡(5x)5+constant- \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(5x)5+sin⁡(5x)25−πcos⁡(5x)5+constant- \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                            sin(5*x)   pi*cos(5*x)   x*cos(5*x)
 | (x + pi)*sin(5*x) dx = C + -------- - ----------- - ----------
 |                               25           5            5     
/
∫(x+π)sin⁡(5x) dx=C−xcos⁡(5x)5+sin⁡(5x)25−πcos⁡(5x)5\int \left(x + \pi\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{\pi \cos{\left(5 x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3*pi
----
 5
3π5\frac{3 \pi}{5} 
=
= 
3*pi
----
 5
3π5\frac{3 \pi}{5} 
3*pi/5
Respuesta numérica [src] 
1.88495559215388
1.88495559215388

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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