Integral de exp(-x)*sqrt(1+exp(-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{- x}$.

      Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \sqrt{u + 1}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u + 1}\, du = - \int \sqrt{u + 1}\, du$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(1 + e^{- x}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \sqrt{e^{u} + 1} e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{e^{u} + 1} e^{u}\, du = - \int \sqrt{e^{u} + 1} e^{u}\, du$

         1. que $u = e^{u} + 1$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(e^{u} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(e^{u} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(1 + e^{- x}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #3

   1. que $u = 1 + e^{- x}$.

      Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(1 + e^{- x}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \left(1 + e^{- x}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(1 + e^{- x}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$