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Resolución de integrales/ x*sqrt/ lnx-1/ 1/x*sqrt(lnx-1)

Integral de 1/x*sqrt(lnx-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                  
  /                  
 |                   
 |    ____________   
 |  \/ log(x) - 1    
 |  -------------- dx
 |        x          
 |                   
/                    
E
∫e5log⁡(x)−1x dx\int\limits_{e}^{5} \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} - 1}}{x}\, dx 
Integral(sqrt(log(x) - 1)/x, (x, E, 5))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)−1u) du\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)−1u du=−∫log⁡(1u)−1u du\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)−1u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u323- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2(log⁡(1u)−1)323- \frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(log⁡(1u)−1)323\frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(log⁡(x)−1)323\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x)−1u = \log{\left(x \right)} - 1.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫u du\int \sqrt{u}\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(log⁡(x)−1)323\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2(log⁡(x)−1)323+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(log⁡(x)−1)323+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 |   ____________                         3/2
 | \/ log(x) - 1           2*(-1 + log(x))   
 | -------------- dx = C + ------------------
 |       x                         3         
 |                                           
/
∫log⁡(x)−1x dx=C+2(log⁡(x)−1)323\int \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} - 1}}{x}\, dx = C + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Gráfica
5.02.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.80.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               3/2
2*(-1 + log(5))   
------------------
        3
2(−1+log⁡(5))323\frac{2 \left(-1 + \log{\left(5 \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} 
=
= 
               3/2
2*(-1 + log(5))   
------------------
        3
2(−1+log⁡(5))323\frac{2 \left(-1 + \log{\left(5 \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} 
2*(-1 + log(5))^(3/2)/3
Respuesta numérica [src] 
(0.317177916876842 + 8.2241843732205e-26j)
(0.317177916876842 + 8.2241843732205e-26j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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