Integral de sin(x)*cos(x)*sqrt(2*cos(2x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \sqrt{2} \sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Método #2

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u \sqrt{2 u^{2} - 1}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u \sqrt{2 u^{2} - 1}\, du = - \int u \sqrt{2 u^{2} - 1}\, du$

            1. que $u = 2 u^{2} - 1$.

               Luego que $du = 4 u du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\sqrt{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(2 u^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(2 u^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} \cos^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$