Integral de x*dx/sqrt((x^2/3)+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1}$.

      Luego que $du = \frac{x dx}{3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\sqrt{\frac{x^{2}}{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{x^{2} + 3}}\, dx = \sqrt{3} \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}\, dx$

      1. que $u = x^{2} + 3$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{x^{2} + 3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{3} \sqrt{x^{2} + 3}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{3 x^{2} + 9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{3 x^{2} + 9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{3 x^{2} + 9}+ \mathrm{constant}$