Integral de -4*x*sin(x/2)-16*cos(x/2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 4 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 8 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 16 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 16 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 32 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   El resultado es: $8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 32 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 48 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 48 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$8 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 48 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$