Integral de cos(x)*exp(sin(x))*sin(x) dx

1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

   $\int u e^{u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{u}\, du = e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$