Integral de 1-x*cos(pi*x*4) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x \cos{\left(4 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(4 \pi x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 \pi x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 4 \pi x$.

            Luego que $du = 4 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{4 \pi}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 \pi x \right)}\, dx}{4 \pi}$

         1. que $u = 4 \pi x$.

            Luego que $du = 4 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{4 \pi}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$