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Resolución de integrales/ 1-x*cos(pi*x*4)

Integral de 1-x*cos(pi*x*4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  (1 - x*cos(pi*x*4)) dx
 |                        
/                         
0
∫01(−xcos⁡(4πx)+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- x \cos{\left(4 \pi x \right)} + 1\right)\, dx 
Integral(1 - x*cos((pi*x)*4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xcos⁡(4πx)) dx=−∫xcos⁡(4πx) dx\int \left(- x \cos{\left(4 \pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(4 \pi x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 \pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=4πxu = 4 \pi x.

          Luego que du=4πdxdu = 4 \pi dx y ponemos du4π\frac{du}{4 \pi}:

          ∫cos⁡(u)4π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4π\frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4πx)4π\frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(4πx)4π dx=∫sin⁡(4πx) dx4π\int \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 \pi x \right)}\, dx}{4 \pi}

        1. que u=4πxu = 4 \pi x.

          Luego que du=4πdxdu = 4 \pi dx y ponemos du4π\frac{du}{4 \pi}:

          ∫sin⁡(u)4π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4πx)4π- \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4πx)16π2- \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(4πx)4π−cos⁡(4πx)16π2- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: −xsin⁡(4πx)4π+x−cos⁡(4πx)16π2- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(4πx)4π+x−cos⁡(4πx)16π2+constant- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(4πx)4π+x−cos⁡(4πx)16π2+constant- \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                  cos(4*pi*x)   x*sin(4*pi*x)
 | (1 - x*cos(pi*x*4)) dx = C + x - ----------- - -------------
 |                                          2          4*pi    
/                                      16*pi
∫(−xcos⁡(4πx)+1) dx=C−xsin⁡(4πx)4π+x−cos⁡(4πx)16π2\int \left(- x \cos{\left(4 \pi x \right)} + 1\right)\, dx = C - \frac{x \sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi} + x - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{16 \pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1
11 
=
= 
1
11 
1
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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