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Resolución de integrales/ -cosx/ (t-x)/ (t-x)0,5(sinx-cosx+e^x)

Integral de (t-x)0,5(sinx-cosx+e^x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  t                                
  /                                
 |                                 
 |  t - x /                   x\   
 |  -----*\sin(x) - cos(x) + E / dx
 |    2                            
 |                                 
/                                  
0
∫0tt−x2(ex+(sin⁡(x)−cos⁡(x))) dx\int\limits_{0}^{t} \frac{t - x}{2} \left(e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\right)\, dx 
Integral(((t - x)/2)*(sin(x) - cos(x) + E^x), (x, 0, t))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫(teusin⁡(u)+teucos⁡(u)−t+ueusin⁡(u)+ueucos⁡(u)−u)e−u2 du\int \frac{\left(t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t + u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u\right) e^{- u}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(ueusin⁡(u)+ueucos⁡(u)−u+teusin⁡(u)+teucos⁡(u)−t)e−u du=∫(ueusin⁡(u)+ueucos⁡(u)−u+teusin⁡(u)+teucos⁡(u)−t)e−u du2\int \left(u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u + t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t\right) e^{- u}\, du = \frac{\int \left(u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u + t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t\right) e^{- u}\, du}{2}

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

          ∫(teu+tsin⁡(u)−tcos⁡(u)−ueu−usin⁡(u)+ucos⁡(u)) du\int \left(t e^{u} + t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} - u e^{u} - u \sin{\left(u \right)} + u \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−ueu) du=−∫ueu du\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −ueu+eu- u e^{u} + e^{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−usin⁡(u)) du=−∫usin⁡(u) du\int \left(- u \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u \sin{\left(u \right)}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡(u)) du=−∫cos⁡(u) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: ucos⁡(u)−sin⁡(u)u \cos{\left(u \right)} - \sin{\left(u \right)}

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫teu du=t∫eu du\int t e^{u}\, du = t \int e^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: teut e^{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫tsin⁡(u) du=t∫sin⁡(u) du\int t \sin{\left(u \right)}\, du = t \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −tcos⁡(u)- t \cos{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−tcos⁡(u)) du=−t∫cos⁡(u) du\int \left(- t \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - t \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −tsin⁡(u)- t \sin{\left(u \right)}

            El resultado es: −ueu+usin⁡(u)+ucos⁡(u)+teu−tsin⁡(u)−tcos⁡(u)+eu−sin⁡(u)+cos⁡(u)- u e^{u} + u \sin{\left(u \right)} + u \cos{\left(u \right)} + t e^{u} - t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} + e^{u} - \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          usin⁡(u)−ucos⁡(u)+ue−u+tsin⁡(u)−tcos⁡(u)+te−u+sin⁡(u)+cos⁡(u)+e−uu \sin{\left(u \right)} - u \cos{\left(u \right)} + u e^{- u} + t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} + t e^{- u} + \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)} + e^{- u}

        Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(u)2−ucos⁡(u)2+ue−u2+tsin⁡(u)2−tcos⁡(u)2+te−u2+sin⁡(u)2+cos⁡(u)2+e−u2\frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{u e^{- u}}{2} + \frac{t \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{t e^{- u}}{2} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{- u}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      tex2−tsin⁡(x)2−tcos⁡(x)2−xex2+xsin⁡(x)2+xcos⁡(x)2+ex2−sin⁡(x)2+cos⁡(x)2\frac{t e^{x}}{2} - \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t−x2(ex+(sin⁡(x)−cos⁡(x)))=tex2+tsin⁡(x)2−tcos⁡(x)2−xex2−xsin⁡(x)2+xcos⁡(x)2\frac{t - x}{2} \left(e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{t e^{x}}{2} + \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫tex2 dx=t∫ex dx2\int \frac{t e^{x}}{2}\, dx = \frac{t \int e^{x}\, dx}{2}

        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

        Por lo tanto, el resultado es: tex2\frac{t e^{x}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫tsin⁡(x)2 dx=t∫sin⁡(x) dx2\int \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{t \int \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −tcos⁡(x)2- \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tcos⁡(x)2) dx=−t∫cos⁡(x) dx2\int \left(- \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{t \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −tsin⁡(x)2- \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xex2) dx=−∫xex dx2\int \left(- \frac{x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x e^{x}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −xex2+ex2- \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x)2) dx=−∫xsin⁡(x) dx2\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(x)2−sin⁡(x)2\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xcos⁡(x)2 dx=∫xcos⁡(x) dx2\int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(x)2+cos⁡(x)2\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: tex2−tsin⁡(x)2−tcos⁡(x)2−xex2+xsin⁡(x)2+xcos⁡(x)2+ex2−sin⁡(x)2+cos⁡(x)2\frac{t e^{x}}{2} - \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    tex2−2tsin⁡(x+π4)2−xex2+2xsin⁡(x+π4)2+ex2+2cos⁡(x+π4)2\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    tex2−2tsin⁡(x+π4)2−xex2+2xsin⁡(x+π4)2+ex2+2cos⁡(x+π4)2+constant\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tex2−2tsin⁡(x+π4)2−xex2+2xsin⁡(x+π4)2+ex2+2cos⁡(x+π4)2+constant\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                    
 |                                                 x               x                                                  x
 | t - x /                   x\          cos(x)   e    sin(x)   t*e    x*cos(x)   x*sin(x)   t*cos(x)   t*sin(x)   x*e 
 | -----*\sin(x) - cos(x) + E / dx = C + ------ + -- - ------ + ---- + -------- + -------- - -------- - -------- - ----
 |   2                                     2      2      2       2        2          2          2          2        2  
 |                                                                                                                     
/
∫t−x2(ex+(sin⁡(x)−cos⁡(x))) dx=C+tex2−tsin⁡(x)2−tcos⁡(x)2−xex2+xsin⁡(x)2+xcos⁡(x)2+ex2−sin⁡(x)2+cos⁡(x)2\int \frac{t - x}{2} \left(e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = C + \frac{t e^{x}}{2} - \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
               t         
     cos(t)   e    sin(t)
-1 + ------ + -- - ------
       2      2      2
et2−sin⁡(t)2+cos⁡(t)2−1\frac{e^{t}}{2} - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{2} - 1 
=
= 
               t         
     cos(t)   e    sin(t)
-1 + ------ + -- - ------
       2      2      2
et2−sin⁡(t)2+cos⁡(t)2−1\frac{e^{t}}{2} - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{2} - 1 
-1 + cos(t)/2 + exp(t)/2 - sin(t)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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