Integral de (t-x)0,5(sinx-cosx+e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\left(t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t + u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u\right) e^{- u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u + t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t\right) e^{- u}\, du = \frac{\int \left(u e^{u} \sin{\left(u \right)} + u e^{u} \cos{\left(u \right)} - u + t e^{u} \sin{\left(u \right)} + t e^{u} \cos{\left(u \right)} - t\right) e^{- u}\, du}{2}$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(t e^{u} + t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} - u e^{u} - u \sin{\left(u \right)} + u \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int u \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $u \cos{\left(u \right)} - \sin{\left(u \right)}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int t e^{u}\, du = t \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $t e^{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int t \sin{\left(u \right)}\, du = t \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- t \cos{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- t \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - t \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- t \sin{\left(u \right)}$

               El resultado es: $- u e^{u} + u \sin{\left(u \right)} + u \cos{\left(u \right)} + t e^{u} - t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} + e^{u} - \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u \sin{\left(u \right)} - u \cos{\left(u \right)} + u e^{- u} + t \sin{\left(u \right)} - t \cos{\left(u \right)} + t e^{- u} + \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)} + e^{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{u e^{- u}}{2} + \frac{t \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{t e^{- u}}{2} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{- u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{t e^{x}}{2} - \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{t - x}{2} \left(e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{t e^{x}}{2} + \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{t e^{x}}{2}\, dx = \frac{t \int e^{x}\, dx}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t e^{x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{t \int \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{t \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x e^{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x e^{x}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{t e^{x}}{2} - \frac{t \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{t \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t e^{x}}{2} - \frac{\sqrt{2} t \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{x e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$