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Resolución de integrales/ inxdx/ -cosx/ sinxdx/(1-cosx)^3

Integral de sinxdx/(1-cosx)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                 
  /                 
 |                  
 |      sin(x)      
 |  ------------- dx
 |              3   
 |  (1 - cos(x))    
 |                  
/                   
pi                  
--                  
2
∫π2πsin⁡(x)(1−cos⁡(x))3 dx\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}}\, dx 
Integral(sin(x)/(1 - cos(x))^3, (x, pi/2, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)(1−cos⁡(x))3=−sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1 dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        12cos⁡2(x)−4cos⁡(x)+2\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 2}

      Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡2(x)−4cos⁡(x)+2- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)(1−cos⁡(x))3=sin⁡(x)−cos⁡3(x)+3cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)−cos⁡3(x)+3cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1=−sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡3(x)−3cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1 dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        12cos⁡2(x)−4cos⁡(x)+2\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 2}

      Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡2(x)−4cos⁡(x)+2- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 2}

  2. Ahora simplificar:

    −12(cos⁡(x)−1)2- \frac{1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −12(cos⁡(x)−1)2+constant- \frac{1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−12(cos⁡(x)−1)2+constant- \frac{1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                                
 |     sin(x)                        1            
 | ------------- dx = C - ------------------------
 |             3                              2   
 | (1 - cos(x))           2 - 4*cos(x) + 2*cos (x)
 |                                                
/
∫sin⁡(x)(1−cos⁡(x))3 dx=C−12cos⁡2(x)−4cos⁡(x)+2\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}}\, dx = C - \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 2}
Simplificar
Gráfica
1.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.03.12-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3/8
38\frac{3}{8} 
=
= 
3/8
38\frac{3}{8} 
3/8
Respuesta numérica [src] 
0.375
0.375

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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