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Resolución de integrales/ (4-x)/ cos(pi*x)/ (4-x)*cos(pi*x)

Integral de (4-x)*cos(pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                     
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 |  (4 - x)*cos(pi*x) dx
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0
∫04(4−x)cos⁡(πx) dx\int\limits_{0}^{4} \left(4 - x\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral((4 - x)*cos(pi*x), (x, 0, 4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−ucos⁡(πu)−4cos⁡(πu)) du\int \left(- u \cos{\left(\pi u \right)} - 4 \cos{\left(\pi u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ucos⁡(uπ)) du=−∫ucos⁡(uπ) du\int \left(- u \cos{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(u \pi \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(uπ)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \pi \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(uπ)π du=∫sin⁡(uπ) duπ\int \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi}

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(uπ)π- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(uπ)π2- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −usin⁡(uπ)π−cos⁡(uπ)π2- \frac{u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(uπ)) du=−4∫cos⁡(uπ) du\int \left(- 4 \cos{\left(u \pi \right)}\right)\, du = - 4 \int \cos{\left(u \pi \right)}\, du

          1. que u=uπu = u \pi.

            Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(uπ)π- \frac{4 \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

        El resultado es: −usin⁡(uπ)π−4sin⁡(uπ)π−cos⁡(uπ)π2- \frac{u \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{4 \sin{\left(u \pi \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xsin⁡(πx)π+4sin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2- \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4−x)cos⁡(πx)=−xcos⁡(πx)+4cos⁡(πx)\left(4 - x\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - x \cos{\left(\pi x \right)} + 4 \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(πx)) dx=−∫xcos⁡(πx) dx\int \left(- x \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(πx)π dx=∫sin⁡(πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(πx)π2- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2- \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡(πx) dx=4∫cos⁡(πx) dx\int 4 \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(πx)π\frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: −xsin⁡(πx)π+4sin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2- \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4−xu{\left(x \right)} = 4 - x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(πx)π) dx=−∫sin⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(πx)π2\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4−x)cos⁡(πx)=−xcos⁡(πx)+4cos⁡(πx)\left(4 - x\right) \cos{\left(\pi x \right)} = - x \cos{\left(\pi x \right)} + 4 \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(πx)) dx=−∫xcos⁡(πx) dx\int \left(- x \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(πx)π dx=∫sin⁡(πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(πx)π2- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2- \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡(πx) dx=4∫cos⁡(πx) dx\int 4 \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(πx)π\frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: −xsin⁡(πx)π+4sin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2- \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    −π(x−4)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2- \frac{\pi \left(x - 4\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −π(x−4)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2+constant- \frac{\pi \left(x - 4\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−π(x−4)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2+constant- \frac{\pi \left(x - 4\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                            cos(pi*x)   4*sin(pi*x)   x*sin(pi*x)
 | (4 - x)*cos(pi*x) dx = C - --------- + ----------- - -----------
 |                                 2           pi            pi    
/                                pi
∫(4−x)cos⁡(πx) dx=C−xsin⁡(πx)π+4sin⁡(πx)π−cos⁡(πx)π2\int \left(4 - x\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{4 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.04.00.51.01.52.02.53.03.5-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-5.93619498156451e-19
-5.93619498156451e-19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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