Sr Examen

Integral de arcsin(ln(x))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |  asin(log(x))   
 |  ------------ dx
 |       x         
 |                 
/                  
0                  
01asin(log(x))xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx
Integral(asin(log(x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      asin(u)du\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=asin(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

        Entonces du(u)=11u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1du=u\int 1\, du = u

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. que u=1u2u = 1 - u^{2}.

        Luego que du=2ududu = - 2 u du y ponemos du2- \frac{du}{2}:

        (12u)du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u- \sqrt{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        1u2- \sqrt{1 - u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      1log(x)2+log(x)asin(log(x))\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=asin(log(x))u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} y que dv(x)=1x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Entonces du(x)=1x1log(x)2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

      (log(1u)u1log(1u)2)du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        log(1u)u1log(1u)2du=log(1u)u1log(1u)2du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\, du

        1. que u=1log(1u)2u = 1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}.

          Luego que du=2log(1u)duudu = \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} du}{u} y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          1log(1u)2\sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 1log(1u)2- \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      1log(x)2- \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    1log(x)2+log(x)asin(log(x))+constant\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

1log(x)2+log(x)asin(log(x))+constant\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |                          _____________                      
 | asin(log(x))            /        2                          
 | ------------ dx = C + \/  1 - log (x)  + asin(log(x))*log(x)
 |      x                                                      
 |                                                             
/                                                              
asin(log(x))xdx=C+1log(x)2+log(x)asin(log(x))\int \frac{\operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx = C + \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}
Respuesta [src]
  1                
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 |  asin(log(x))   
 |  ------------ dx
 |       x         
 |                 
/                  
0                  
01asin(log(x))xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx
=
=
  1                
  /                
 |                 
 |  asin(log(x))   
 |  ------------ dx
 |       x         
 |                 
/                  
0                  
01asin(log(x))xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx
Integral(asin(log(x))/x, (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src]
(-68.2586014322472 + 153.4125661256j)
(-68.2586014322472 + 153.4125661256j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.