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Resolución de integrales/ (dx)/x/ x*sqrt/ (dx)/x*sqrt(ln)x^2

Integral de (dx)/x*sqrt(ln)x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E                 
  /                 
 |                  
 |    ________      
 |  \/ log(x)   2   
 |  ----------*x  dx
 |      x           
 |                  
/                   
1
∫1ex2log⁡(x)x dx\int\limits_{1}^{e} x^{2} \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx 
Integral((sqrt(log(x))/x)*x^2, (x, 1, E))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)u3) du\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)u3 du=−∫log⁡(1u)u3 du\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{3}}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

          ∫(−ue2u) du\int \left(- \sqrt{u} e^{2 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫ue2u du=−∫ue2u du\int \sqrt{u} e^{2 u}\, du = - \int \sqrt{u} e^{2 u}\, du

              UpperGammaRule(a=2, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(2*_u), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: −2u(2−ue2u+πerfc⁡(2−u)2)4−u- \frac{\sqrt{2} \sqrt{u} \left(\sqrt{2} \sqrt{- u} e^{2 u} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- u} \right)}}{2}\right)}{4 \sqrt{- u}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2(πerfc⁡(2−log⁡(1u))2+2−log⁡(1u)u2)log⁡(1u)4−log⁡(1u)- \frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{2}}\right) \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(πerfc⁡(2−log⁡(1u))2+2−log⁡(1u)u2)log⁡(1u)4−log⁡(1u)\frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u^{2}}\right) \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(2x2−log⁡(x)+πerfc⁡(2−log⁡(x))2)log⁡(x)4−log⁡(x)\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x^{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue2u du\int \sqrt{u} e^{2 u}\, du

        UpperGammaRule(a=2, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(2*_u), symbol=_u)

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(2x2−log⁡(x)+πerfc⁡(2−log⁡(x))2)log⁡(x)4−log⁡(x)\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x^{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  2. Ahora simplificar:

    x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)+constant\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)+constant\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        /  ____     /  ___   _________\                       \
 |                          ___   ________ |\/ pi *erfc\\/ 2 *\/ -log(x) /     ___  2   _________|
 |   ________             \/ 2 *\/ log(x) *|------------------------------ + \/ 2 *x *\/ -log(x) |
 | \/ log(x)   2                           \              2                                      /
 | ----------*x  dx = C + ------------------------------------------------------------------------
 |     x                                                   _________                              
 |                                                     4*\/ -log(x)                               
/
∫x2log⁡(x)x dx=C+2(2x2−log⁡(x)+πerfc⁡(2−log⁡(x))2)log⁡(x)4−log⁡(x)\int x^{2} \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x^{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}
Simplificar
Gráfica
1.01.21.41.61.82.02.22.42.60.05.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          /  ____     /    ___\             \                 
      ___ |\/ pi *erfc\I*\/ 2 /       ___  2|                 
  I*\/ 2 *|-------------------- + I*\/ 2 *e |       ___   ____
          \         2                       /   I*\/ 2 *\/ pi 
- ------------------------------------------- + --------------
                       4                              8
−2i(πerfc⁡(2i)2+2ie2)4+2iπ8- \frac{\sqrt{2} i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} i \right)}}{2} + \sqrt{2} i e^{2}\right)}{4} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{8} 
=
= 
          /  ____     /    ___\             \                 
      ___ |\/ pi *erfc\I*\/ 2 /       ___  2|                 
  I*\/ 2 *|-------------------- + I*\/ 2 *e |       ___   ____
          \         2                       /   I*\/ 2 *\/ pi 
- ------------------------------------------- + --------------
                       4                              8
−2i(πerfc⁡(2i)2+2ie2)4+2iπ8- \frac{\sqrt{2} i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} i \right)}}{2} + \sqrt{2} i e^{2}\right)}{4} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{8} 
-i*sqrt(2)*(sqrt(pi)*erfc(i*sqrt(2))/2 + i*sqrt(2)*exp(2))/4 + i*sqrt(2)*sqrt(pi)/8
Respuesta numérica [src] 
2.51230110306272
2.51230110306272

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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