Integral de cos(x)/sqrt2*sin(x)+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}}$.

         Luego que $du = - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} dx}{2}$ y ponemos $- \sqrt{2} du$:

         $\int \left(- \sqrt{2} u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \sqrt{2} \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sqrt{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$

      Método #2

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{\sqrt{2} du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{2} u}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \frac{\sqrt{2} \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} u^{2}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sqrt{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$

      Método #3

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

         $\int \frac{\sqrt{2} u}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = \frac{\sqrt{2} \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} u^{2}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x - \frac{\sqrt{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \frac{\sqrt{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \frac{\sqrt{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$