Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(5 x + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\log{\left(5 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(5 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(x + \frac{1}{5}\right)}{4 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{5}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)