Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- log(x)/sqrt(x^ cinco -x^ dos)
- logaritmo de (x) dividir por raíz cuadrada de (x en el grado 5 menos x al cuadrado )
- logaritmo de (x) dividir por raíz cuadrada de (x en el grado cinco menos x en el grado dos)
- log(x)/√(x^5-x^2)
- log(x)/sqrt(x5-x2)
- logx/sqrtx5-x2
- log(x)/sqrt(x⁵-x²)
- log(x)/sqrt(x en el grado 5-x en el grado 2)
- logx/sqrtx^5-x^2
- log(x) dividir por sqrt(x^5-x^2)
-
Expresiones semejantes
- log(x)/sqrt(x^5+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(1+x)
- sqrt(x/(1+x))
Límite de la función log(x)/sqrt(x^5-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ log(x) \
lim |------------|
x->1+| _________|
| / 5 2 |
\\/ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right)$$
Limit(log(x)/sqrt(x^5 - x^2), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x^{3} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} \left(\frac{3 x^{4}}{2} + x \left(x^{3} - 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right) \left(x^{3} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} \left(\frac{3 x^{4}}{2} + x \left(x^{3} - 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right) \left(x^{3} - 1\right)}{3 \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{3 x^{3} \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right)^{2} \left(\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}} + \frac{2 \left(- \frac{3 x^{4}}{2} - x \left(x^{3} - 1\right)\right)}{3 x^{2} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)}{4 \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{5} - x^{2}}} + \frac{2}{3 x \sqrt{x^{5} - x^{2}}}}{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{5} - x^{2}}} + \frac{2}{3 x \sqrt{x^{5} - x^{2}}}}{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x^{3} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} \left(\frac{3 x^{4}}{2} + x \left(x^{3} - 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right) \left(x^{3} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)} \left(\frac{3 x^{4}}{2} + x \left(x^{3} - 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right) \left(x^{3} - 1\right)}{3 \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{3 x^{3} \left(2 x - \frac{2 \left(x^{3} - 1\right)}{3 x^{2}}\right)^{2} \left(\frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}} + \frac{2 \left(- \frac{3 x^{4}}{2} - x \left(x^{3} - 1\right)\right)}{3 x^{2} \sqrt{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}}\right)}{4 \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{5} - x^{2}}} + \frac{2}{3 x \sqrt{x^{5} - x^{2}}}}{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{5} - x^{2}}} + \frac{2}{3 x \sqrt{x^{5} - x^{2}}}}{\frac{1}{3} - \frac{x^{3}}{3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ log(x) \
lim |------------|
x->1+| _________|
| / 5 2 |
\\/ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right)$$
0
$$0$$
= 0.0079680506689646
/ log(x) \
lim |------------|
x->1-| _________|
| / 5 2 |
\\/ x - x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right)$$
0
$$0$$
= (0.0 + 0.00815756465534468j)
= (0.0 + 0.00815756465534468j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{5} - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo