Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- (-log(dos +sin(x^ dos)/ cuatro)-x/ dos +log(uno +e^x))/(sin(x)^ dos *tan(x)^ dos)
- ( menos logaritmo de (2 más seno de (x al cuadrado ) dividir por 4) menos x dividir por 2 más logaritmo de (1 más e en el grado x)) dividir por ( seno de (x) al cuadrado multiplicar por tangente de (x) al cuadrado )
- ( menos logaritmo de (dos más seno de (x en el grado dos) dividir por cuatro) menos x dividir por dos más logaritmo de (uno más e en el grado x)) dividir por ( seno de (x) en el grado dos multiplicar por tangente de (x) en el grado dos)
- (-log(2+sin(x2)/4)-x/2+log(1+ex))/(sin(x)2*tan(x)2)
- -log2+sinx2/4-x/2+log1+ex/sinx2*tanx2
- (-log(2+sin(x²)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sin(x)²*tan(x)²)
- (-log(2+sin(x en el grado 2)/4)-x/2+log(1+e en el grado x))/(sin(x) en el grado 2*tan(x) en el grado 2)
- (-log(2+sin(x^2)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sin(x)^2tan(x)^2)
- (-log(2+sin(x2)/4)-x/2+log(1+ex))/(sin(x)2tan(x)2)
- -log2+sinx2/4-x/2+log1+ex/sinx2tanx2
- -log2+sinx^2/4-x/2+log1+e^x/sinx^2tanx^2
- (-log(2+sin(x^2) dividir por 4)-x dividir por 2+log(1+e^x)) dividir por (sin(x)^2*tan(x)^2)
-
Expresiones semejantes
- (-log(2+sin(x^2)/4)-x/2-log(1+e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
- (-log(2+sin(x^2)/4)+x/2+log(1+e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
- (-log(2-sin(x^2)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
- (-log(2+sin(x^2)/4)-x/2+log(1-e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
- (log(2+sin(x^2)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
- (-log(2+sin(x^2)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sinx^2*tan(x)^2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log(x)/(1-x)^2
- log(log(x))/(x-e)
- log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(3+2*x)
- Seno sin
- sin(3*x)^2/log(1+2*x)^2
- sin(3*x)^2/(2*x^2)
- sin(x/2-y/2)*tan(pi*x/(2*y))
- sin(2*x)^4/(x^2+5*x^6*sin(x^2))
- sin(5*x^2)/atan(2*x)^2
- Logaritmo log
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log(x)/(1-x)^2
- log(log(x))/(x-e)
- log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(3+2*x)
- Seno sin
- sin(3*x)^2/log(1+2*x)^2
- sin(3*x)^2/(2*x^2)
- sin(x/2-y/2)*tan(pi*x/(2*y))
- sin(2*x)^4/(x^2+5*x^6*sin(x^2))
- sin(5*x^2)/atan(2*x)^2
- Tangente tan
- tan(2*x^2)/sin(5*x)^2
- tan(5*pi*x)*tan(6*pi*x)/(cos(8*pi*i*x)*sin(2*pi*x)*sin(3*pi*x))
- tan(2*x)^2/(1-cos(x))
- tan(-exp(-4+x^2)+exp(2+x))/tan(x)+tan(2)
- tan(-1+x)/sin(1-6*x+5*x^2)
Límite de la función (-log(2+sin(x^2)/4)-x/2+log(1+e^x))/(sin(x)^2*tan(x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / / 2\\ \
| | sin\x /| x / x\|
|- log|2 + -------| - - + log\1 + E /|
| \ 4 / 2 |
lim |------------------------------------|
x->0+| 2 2 |
\ sin (x)*tan (x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Limit((-log(2 + sin(x^2)/4) - x/2 + log(1 + E^x))/((sin(x)^2*tan(x)^2)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8}{4} \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{4 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{4 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{384}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8}{4} \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{4 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{4 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(x^{2} \right)} + 8} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}}{2 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{384}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / / 2\\ \
| | sin\x /| x / x\|
|- log|2 + -------| - - + log\1 + E /|
| \ 4 / 2 |
lim |------------------------------------|
x->0+| 2 2 |
\ sin (x)*tan (x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
1/384
$$\frac{1}{384}$$
= 0.00260416666666667
/ / / 2\\ \
| | sin\x /| x / x\|
|- log|2 + -------| - - + log\1 + E /|
| \ 4 / 2 |
lim |------------------------------------|
x->0-| 2 2 |
\ sin (x)*tan (x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
1/384
$$\frac{1}{384}$$
= 0.00260416666666667
= 0.00260416666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{384}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{384}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{4} + 2 \right)} - 1 + 2 \log{\left(1 + e \right)}}{2 \sin^{2}{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{4} + 2 \right)} - 1 + 2 \log{\left(1 + e \right)}}{2 \sin^{2}{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{384}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{4} + 2 \right)} - 1 + 2 \log{\left(1 + e \right)}}{2 \sin^{2}{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 2 \log{\left(\frac{\sin{\left(1 \right)}}{4} + 2 \right)} - 1 + 2 \log{\left(1 + e \right)}}{2 \sin^{2}{\left(1 \right)} \tan^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} - \log{\left(\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{4} + 2 \right)}\right) + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo