Sr Examen

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log(1/x)*tan(x)
Límite de la función/ tan(x)/ log(1/x)/ log(1/x)*tan(x)

Límite de la función log(1/x)*tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   /1\       \
 lim |log|-|*tan(x)|
x->0+\   \x/       /
lim⁡x→0+(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
Limit(log(1/x)*tan(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+tan⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+1log⁡(1x)=0\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxtan⁡(x)ddx1log⁡(1x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(x(tan⁡2(x)+1)log⁡(1x)2)\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxx(tan⁡2(x)+1)ddx1log⁡(1x)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}}\right)
=
lim⁡x→0+(x(x(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+1)log⁡(1x)32)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{2}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxxlog⁡(1x)32ddx1x(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right)
=
lim⁡x→0+((log⁡(1x)32−3log⁡(1x)22)(x(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+1)2−x(tan⁡2(x)+1)(2tan⁡2(x)+2)−2x(2tan⁡2(x)+2)tan⁡2(x)−2(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}{2}\right) \left(x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{- x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) - 2 x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(log⁡(1x)32−3log⁡(1x)22−6xtan⁡4(x)−8xtan⁡2(x)−2x−4tan⁡3(x)−4tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}{2}}{- 6 x \tan^{4}{\left(x \right)} - 8 x \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 x - 4 \tan^{3}{\left(x \right)} - 4 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(log⁡(1x)32−3log⁡(1x)22−6xtan⁡4(x)−8xtan⁡2(x)−2x−4tan⁡3(x)−4tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}{2}}{- 6 x \tan^{4}{\left(x \right)} - 8 x \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 x - 4 \tan^{3}{\left(x \right)} - 4 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100100
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   /1\       \
 lim |log|-|*tan(x)|
x->0+\   \x/       /
lim⁡x→0+(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
0
00 
= 0.0018811648412213
     /   /1\       \
 lim |log|-|*tan(x)|
x->0-\   \x/       /
lim⁡x→0−(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
0
00 
= (-0.00188550992617824 - 0.000778665605955774j)
= (-0.00188550992617824 - 0.000778665605955774j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(log⁡(1x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(log⁡(1x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
lim⁡x→∞(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(log⁡(1x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(log⁡(1x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(log⁡(1x)tan⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.0018811648412213
0.0018811648412213
Gráfico
Límite de la función log(1/x)*tan(x)
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