Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(cot(x/ cuatro))/cos(x/ dos)
- logaritmo de ( cotangente de (x dividir por 4)) dividir por coseno de (x dividir por 2)
- logaritmo de ( cotangente de (x dividir por cuatro)) dividir por coseno de (x dividir por dos)
- logcotx/4/cosx/2
- log(cot(x dividir por 4)) dividir por cos(x dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(1+x^2)
- log(1+1/x)
- log(x)/x^3
- log(cos(2*x))/x^2
- Cotangente cot
- cot(4*x)*tan(2*x)
- cot(3*x)*tan(2*x)
- cot(2*x)*sin(x)
- cot(5*x)*tan(3*x)
- cot(2*x)*sin(7*x)
- Coseno cos
- cos(x)+sin(x)
- cos(x^(-2))
- cos(x)*log(x-a)/log(e^x-e^a)
- cos(x)*log(x)/x
- cos(x)^(pi/2-x)
Límite de la función log(cot(x/4))/cos(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / /x\\\
|log|cot|-|||
| \ \4//|
lim |-----------|
x->pi+| /x\ |
| cos|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(log(cot(x/4))/cos(x/2), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{2 \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}\right)}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{2 \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}\right)}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / /x\\\
|log|cot|-|||
| \ \4//|
lim |-----------|
x->pi+| /x\ |
| cos|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ / /x\\\
|log|cot|-|||
| \ \4//|
lim |-----------|
x->pi-| /x\ |
| cos|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{1}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{1}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{1}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{1}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo