Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{3} \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{3} \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{3}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}} \left(\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{2 x^{3} \sqrt{x + 5}} + \frac{12 \sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{3}{\left(3 x \right)}}{x^{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \frac{3 \sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{4}}\right)}{5 \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - \cos{\left(5 x \right)}} \left(\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{2 x^{3} \sqrt{x + 5}} + \frac{12 \sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{3}{\left(3 x \right)}}{x^{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \frac{3 \sqrt{x + 5} \operatorname{asin}^{4}{\left(3 x \right)}}{x^{4}}\right)}{5 \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{81 \sqrt{10}}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)