Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{2} + \frac{5 \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2}}{6 \sin{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{2} + \frac{5 \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2}}{6 \sin{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)}}{2} + \frac{5 \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(\sin{\left(5 x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}{2}}{6 \sin{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)