Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*x)/sin(once *x)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por seno de (11 multiplicar por x)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por seno de (once multiplicar por x)
- sin(pix)/sin(11x)
- sinpix/sin11x
- sin(pi*x) dividir por sin(11*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(1)/x
- sin(7*pi*x)/sin(8*pi*x)
- sin(7*x)/(5*x)
- sin(x)^(x^2)
- sin(x)/(-sin(7*x)+sin(6*x))
- Número Pi pi
- Piecewise((-9/2+9*x/2+9*((-1+x)^2)^(1/3)/2,x<2),(2-x-1/(-2+x),x>2))
- pi*acot(a)
- pi*x*(-2+x)/tan(x)
- pi*(68-x)/64
- pi^2*(n+n^2)
- Seno sin
- sin(1)/x
- sin(7*pi*x)/sin(8*pi*x)
- sin(7*x)/(5*x)
- sin(x)^(x^2)
- sin(x)/(-sin(7*x)+sin(6*x))
Límite de la función sin(pi*x)/sin(11*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0+\sin(11*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
Limit(sin(pi*x)/sin(11*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = \pi x$$
y
$$v = 11 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\pi \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{11 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{11}$$
=
$$\frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{11}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{\pi \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{11}$$
=
$$\frac{\pi}{11}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \frac{\pi}{11}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = \pi x$$
y
$$v = 11 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\pi \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{11 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{11}$$
=
$$\frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{11}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{\pi \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{11}$$
=
$$\frac{\pi}{11}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \frac{\pi}{11}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(11 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{11 \cos{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{11}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{11}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{11}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(11 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{11 \cos{\left(11 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{11}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{11}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{11}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0+\sin(11*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
pi -- 11
$$\frac{\pi}{11}$$
= 0.285599332144527
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0-\sin(11*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
pi -- 11
$$\frac{\pi}{11}$$
= 0.285599332144527
= 0.285599332144527
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \frac{\pi}{11}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \frac{\pi}{11}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = \frac{\pi}{11}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(11 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo