Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{3}}}{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}}{\pi}\right)$$
=
$$\frac{1}{6 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)